Question

用导数的定义证明f(z)=|z|^2在原点连续但不可导

Answer 1

问：用导数的定义证明f(z)=|z|^2在原点连续但不可导

答：首先f（z）=｜z｜^2=U(x,y)+iV(x,y)=x^2+y^2△f(z)/△z=lim[(x+△x)^2+(y+△y)^2-x^2-y^2]/(△x+i△y)

答：由于这是多远函数的极限,可以用累次极限来求,先令△y趋于0,得到lim[(x+△x)^2-x^2]/△x,再令△x趋于0得到2x,也就是U对x求偏导,那么也可以先令△x趋于0得到lim[(y+△y)^2-y^2]/i△y,然后再令△y趋于0,得到-2yi由于累次极限要相等所以得到x=y=0时才成立,又由于f（z）在复平面连续,从而f（z）只在（0,0）点可微

答：f(z)=|z|^2仅在z=0处可导，复平面上其余点均不可导参考