Question

大学复变函数作业

Answer 1

问：大学复变函数作业

答：您好，亲。这边根据您提供的问题，为您查询到以下：复变函数是数学中的一个重要分支，它探讨了复数域上的函数，包括解析函数、调和函数、亚纯函数等。在大学中，学生需要学习复变函数，并完成相应的作业。复变函数作业通常包括以下内容：解析函数的性质、调和函数的性质、亚纯函数的性质、留数定理、洛朗级数等。学生需要掌握这些知识点，并能够应用到实际问题中。

答：完成复变函数作业需要一定的数学功底和思维能力。学生需要通过阅读教材、做题、讨论等方式来加深对复变函数的理解。同时，还需要掌握一些数学工具，如复数运算、积分计算、级数求和等。为了顺利完成复变函数作业，学生需要认真听课、认真做题、及时向老师请教问题。此外，还可以参考相关的数学书籍和网上资源，如数学论坛、数学博客等，来拓展自己的数学视野和思维方式。总之，完成复变函数作业需要学生具备一定的数学功底和思维能力，并需要认真对待每一个问题，不断探索和学习。

问：证明：|∫c[(z+1)÷(z-1)]dz|≤8π′，其中c是圆周|Z-1|=2

答：您好，亲。这边根据您提供的问题，为您查询到以下：首先，我们需要确定被积函数在圆周$c$上是否有奇点。通过观察被积函数$(z+1)/(z-1)$，我们可以发现它在$z=1$处有一个一阶极点，即$c$是一个简单闭合曲线，且$1$在$c$内部。接下来，我们可以使用柯西积分定理来证明不等式。根据柯西积分定理，我们有：$$\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi i f(z_0)$$

答：其中，$C$是一个简单闭合曲线，$z_0$是$C$内的任意点，$f(z)$是在$C$内解析的函数。对于本题中的被积函数$(z+1)/(z-1)$，我们可以将它分解为：$$\frac{z+1}{z-1}=\frac{z-1+2}{z-1}=1+\frac{2}{z-1}$$因此，我们可以将原不等式改写为：$$\left|\oint_C\frac{2}{z-1}dz\right|\leq 8\pi'$$根据柯西积分定理，我们有：$$\oint_C\frac{2}{z-1}dz=2\pi i\cdot2=4\pi i$$因此，不等式可以进一步简化为：$$|4\pi i|\leq 8\pi'$$显然，上式成立，因此原不等式也成立。

问：有图片吗，我发送图片你可以看见吗，解析有没有图片，你可以手写一份然后拍照给我吗，这样我看不懂

答：亲亲 我发不了图片哦

答：要证明：\int_{|z-1|=2} \frac{1}{z^2-2z} dz = 0∫∣z−1∣=2​z−2z1​dz=0=2πi​。

答：解析：将分母因式分解 z^2-2z=z(z-2)z2−2z=z(z−2)注意到分母的两个根分别是 00 和 22，这两点都在圆周 |z-1|=2∣z−1∣=2 的内部。由于被积函数在圆周内解析，因此可以使用柯西积分定理来求积分。根据柯西积分定理，有 \int_{|z-1|=2} \frac{1}{z^2-2z} dz = 2\pi i Res(f,z_0)∫∣z−1∣=2​z−2z1​dz=2πiRes(f,z0​)，其中 f(z)=\frac{1}{z^2-2z}f(z)=z−2z1​，z_0z0​ 是 f(z)f(z) 的一个孤立奇点（即 z_0=0z0​=0 或 z_0=2z0​=2）。

答：计算 z_0=2z0​=2 处的留数：\begin{aligned} Res(f,2) &= \lim_{z\to 2} (z-2) \cdot \frac{1}{z^2-2z} \\ &= \lim_{z\to 2} \frac{1}{z+2} \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}Res(f,2)​=​(z−2)⋅​=​​=​​因此，\int_{|z-1|=2} \frac{1}{z^2-2z} dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi i}{2}∫∣z−1∣=2​z−2z1​dz=2πi⋅41​=2πi​。综上所述：\int_{|z-1|=2} \frac{1}{z^2-2z} dz = \frac{\pi i}{2}∫∣z−1∣=2​z−2z1​dz

答：根据复变函数的积分理论，沿着可求导的曲线积分路径 CC 上对函数 f(z)f(z) 进行积分可以表示为\int_C f(z)\text{d}z=\int_a^b f(z(t)) z'(t)\text{d}t∫C​f(z)dz=∫ab​f(z(t))z′(t)dt其中 z(t)=x(t)+i y(t)z(t)=x(t)+iy(t) 表示曲线 CC 上的点，aa 和 bb 分别表示参数 tt 的起点和终点。在本题中，积分路径 CC 为从 00 到 1+i1+i 的直线段，因此可以将积分路径分为两段：从 00 到 11 的实数轴上的路径和从 11 到 1+i1+i 的纯虚数轴上的路径。对于从 00 到 11 的路径，有：\int_0^1 i\text{d}z= \int_0^1 i (\text{d}x+i\text{d}y) = i \int_0^1\text{d}x=-i∫01​idz=∫01​i(dx+idy)=i∫01​dx=−i

答：对于从 11 到 1+i1+i 的路径，由于是纯虚数轴上的路径，因此 \text{d}x=0dx=0，有：\int_1^{1+i}i \text{d}z=\int_0^1 i (0+i\text{d}y)=i\int_0^1\text{d}y=i∫11+i​idz=∫01​i(0+idy)=i∫01​dy=i因此，沿着路径 CC 对 ii 进行积分的结果为：\int_C i\text{d}z=\int_0^1 i\text{d}z + \int_1^{1+i}i\text{d}z=-i+i=0∫C​idz=∫01​idz+∫11+i​idz=−i+i=0答案为 00。[2]

答：对于复变函数 \pi zπz，它在曲线上任意两点 z_1z1​ 和 z_2z2​ 的积分值是相等的，因此可以沿着任意路径来计算积分，只要这条路径连接了积分的起点和终点即可。我们考虑从原点出发，按照如下路径分段进行积分：从原点 (0, 0)(0,0) 出发，沿着实轴向右到达 (\frac i2, 0)(2i​,0)。从 (\frac i2, 0)(2i​,0) 出发，沿着竖直线段向上到达 (\frac i2, \frac \pi 2)(2i​,2π​)。根据复变函数的积分理论，有\int_{C_1}\pi z \text{d}z+\int_{C_2}\pi z \text{d}z=\int_{C}\pi z \text{d}z∫C​​πzdz+∫C​​πzdz=∫C​πzdz其中 C_1C1​ 表示第一段路径，C_2C2​ 表示第二段路径，CC 表示整个路径。对于第一段路径，可以将其表示为z(t)=(t, 0),\qquad 0\leq t\leq \frac i2z(t)=(t,0),0≤t≤2i​则其对应的复变函数值为\pi z(t)=\pi tπz(t)=πt

答：因此，\int_{C_1}\pi z \text{d}z=\int_0^{\frac i2}\pi t\text{d}t=\frac{\pi i}{4}∫C​​πzdz=∫0​​πtdt=4πi​对于第二段路径，可以将其表示为z(t)=\left(\frac i2, t\right),\qquad 0\leq t\leq \frac \pi2z(t)=(2i​,t),0≤t≤2π​则其对应的复变函数值为\pi z(t)=\frac{\pi i}{2}tπz(t)=2πi​t因此，\int_{C_2}\pi z \text{d}z=\int_0^{\frac \pi2}\frac{\pi i}{2}t\text{d}t=\frac{\pi^2 i}{4}∫C​​πzdz=∫0​​2πi​tdt=4πi​综上所述，\int_{C}\pi z \text{d}z=\int_{C_1}\pi z \text{d}z+\int_{C_2}\pi z \text{d}z=\frac{\pi i}{4} +\frac{\pi^2 i}{4}=\frac{\pi i(1+\pi)}{

答：{4}∫C​πzdz=∫C​​πzdz+∫C​​πzdz=4πi​+4πi​=4πi(1+π)​因此，所求积分的值为 \frac{\pi i(1+\pi)}{4}4πi(1+π)​。[1]