Question

差分方程yt+1+4yt=3*2t的通

Answer 1

问：差分方程yt+1+4yt=3*2t的通

答：这是一个一阶线性差分方程，可以使用常数变易法求解。 首先，我们需要求出对应齐次方程 \(yt+1 + 4yt = 0\) 的通解。 假设 \(yt\) 的形式为 \(yt = A * r^t\)，其中 \(A\) 和 \(r\) 都是待定系数。 将这个形式代入齐次方程得到：\(A * r^(t+1) + 4A * r^t = 0\) 整理后得到：\(r * (r + 4) = 0\) 解得 \(r1 = 0\) 和 \(r2 = -4\)。 因此，齐次方程的通解为 \(yt = C1 * 0^t + C2 * (-4)^t\)，其中 \(C1\) 和 \(C2\) 是待定系数。 接下来，我们需要求非齐次方程 \(yt+1 + 4yt = 3*2^t\) 的一个特解。 根据待定系数法，我们猜测特解的形式为 \(yt = At * 2^t\)，其中 \(A\) 是待定常数。 将这个形式代入非齐次方程得到：(\(A(t+1) + 4At\) * 2^t = 3*2^t) 整理后得到：\(A = \frac{3}{5}\) 因此，非齐次方程的一个特解为 \(yt = \frac{3}{5}t * 2^t\)。 最后，根据线性微分方程的叠加原理，该差分方程的通解为：\(yt = C1 * 0^t + C2 * (-4)^t + \frac{3}{5}t * 2^t\)，其中 \(C1\) 和 \(C2\) 是待定系数。