Question

在实数域上，对于向量的线性运算，集合 V1 =(x1,x2...,xn)' ,(∑ x i=0,x 属于R) 和集合 V2=(0,x2...,xn)',(x2,x3...,xn属于R)构成线性空间，请问这两空间的维数是多少？并写出每个空间的一组基。

Answer 1

问：在实数域上，对于向量的线性运算，集合 V1 =(x1,x2...,xn)' ,(∑ x i=0, x 属于R) 和集合 V2=(0,x2...,xn)',(x2,x3...,xn属于R)构成线性空间，请问这两空间的维数是多少？并写出每个空间的一组基。

答：首先，我们可以发现集合V1和V2的向量个数都是n个，因此它们的维数相同，均为n。然后，我们来求解它们的一组基：对于集合V1，我们可以将其表示为：V1 = x1 * (1,0,0,...,0) + x2 * (0,1,0,...,0) + x3 * (0,0,1,...,0) + ... + xn * (0,0,0,...,1)因此，它的一组基为：{(1,0,0,...,0), (0,1,0,...,0), (0,0,1,...,0), ..., (0,0,0,...,1)}对于集合V2，我们可以将其表示为：V2 = x2 * (1,0,0,...,0) + x3 * (0,1,0,...,0) + ... + xn * (0,0,0,...,1)因此，它的一组基为：{(1,0,0,...,0), (0,1,0,...,0), (0,0,1,...,0), ..., (0,0,0,...,1)}其中，注意到V2的第一个向量是零向量，因此可以省略不计。

问：这里的x1,x2是一个向量还是一个向量组呢

答：在这个问题中，x1,x2是指向量V1和V2中的向量的第一个分量，它们不是向量组。 向量组是多个向量按照一定顺序组合而成的集合，而这里的V1和V2是向量的集合，它们分别由n个向量组成。

问：这个基应该要转置吧

问：(1，0，0，...，0)'

问：还是不要呢

答：是的，如果要将向量 (1, 0, 0, ..., 0) 转置成行向量，则应该写成 (1, 0, 0, ..., 0)。注意到这里是一个行向量，所以需要在向量的右边加上一个撇号，即 (1, 0, 0, ..., 0)'，表示对该向量进行转置操作。