Question

不同特征值对应的特征向量正交吗

Answer 1

对称阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的。

命题应该是实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的.证明如下：

设λ1,λ2是两个A的不同特征值,α1,α2分别是其对应的特征向量,有

A * α1 = λ1 * α1,A * α2 = λ2 *α2

分别取转置,并分别两边右乘α2和α1,得

α1' * A' * α2 =λ2 * α1' * α2,α2' * A' * α1 =λ1 * α2' * α1

对应相减并注意到α2' * A' * α1=（α2' * A' * α1)'= α1' * A' * α2

所以 (λ1 - λ2) α1' * α2 = α1' * A' * α2 - α2' * A' * α1 = α1' * A' * α2 - α1' * A' * α2 =0

而 λ1 - λ2≠ 0,因此 α1' * α2 = 0

即 α1与α2 正交.

扩展资料：

求特征值

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，

系数行列式|A-λE|称为A的特征多项式，记¦(λ)=|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。

¦(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。