Question

已知5x方➕4y方等于1,求2x方➕2xy➕y方的取值范围

Answer 1

问：已知5x方➕4y方等于1,求2x方➕2xy➕y方的取值范围

答：亲将5x²+4y²=1化简为：x²/(1/5) + y²/(1/4) = 1这是一个椭圆，半长轴为√5，半短轴为√4=2。现在考虑2x²+2xy+y²=(x+y)²+x²+y²的取值范围：因为x²+y²<=1，所以(x+y)²+x²+y²=4xy，所以(x+y²+x²+y²>=4xy+x²+y²=2x²+2xy+y²。综合以上两个不等式得到：2<=2x²+2xy+y²<=(x+y)²+x²+y²<=2因此，2x²+2xy+y²的取值范围是[2,2]，即2x²+2xy+y²=2。

答：拓展资料$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2+4xy=(2x^2+2xy+y^2)+3xy \leqslant 2+3xy$因为$3xy \geqslant 0$，所以$2x^2+2xy+y^2 \leqslant (x+y)^2 \leqslant 2+3xy$即$2 \leqslant 2x^2+2xy+y^2 \leqslant 2+3xy$又因为$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2 \geqslant 0$，所以$2x^2+2xy+y^2 \geqslant 0$，因此$2 \leqslant 2x^2+2xy+y^2$综上所述，$2 \leqslant 2x^2+2xy+y^2 \leqslant 2+3xy$，其中$xy$需要满足$3xy \leqslant 2$（由$2x^2+2xy+y^2=1$推导得到）。