Question

38.求曲面+x=(y^2+z^2)+被平面x=3所下部分的有界曲面的面积.

Answer 1

问：38.求曲面+x=(y^2+z^2)+被平面x=3所下部分的有界曲面的面积.

答：亲，你好！为您找寻的答案：38.求曲面+x=(y^2+z^2)+被平面x=3所下部分的有界曲面的面积为首先，将平面 x=3与曲面 x=y2+z2 相交，可以得到截面为 y2+z2=3 的圆。由于我们只需要求下部分的面积，因此可以将问题转化为在 y2+z2 3 的圆盘中求解曲面的面积。将 x=y^2+z2 代入到 x=3 中，可以得到圆盘的边界为 y2+z2=3，x=3与 z 轴交于点 (3,0,0)。因此，我们可以使用极坐标系对圆盘进行参数化，其中 $0 2 为角度，0r {3} 为半径。由于曲面是在 x=y2+z2 的基础上沿 x 轴方向平移得到的，因此曲面的方程为 x=(y2+z2)+3根据曲面面积分的公式，曲面的面积可以表示为S = D{1+(f_x)2+(f_y)2},{d}A其中，D 表示参数域，f_x 和 f_y 分别表示曲面方程在 x 和 y 方向上的偏导数。在本题中，曲面的方程为 x=(y2+z2)+3，因此有 f_x= 1。将 x=(y2+z2)+3 对 y和 z 分别求偏导数，可以得到 f_y = 2y和 f_z= 2z。因此，曲面的面积可以表示为S = D{1+4y2+4z2},{d}A将极坐标系的面积元素{d}A 转换为极坐标下的积分元素{d}{d}r，并代入 x=(y2+z2)+3，可以得到S = {2}{{3}} {1+4r2+4r2},r{d}r{d}= {2}{{3}} {1+4r2},r{d}r{d}