Question

已知函数f(x) = 1nx- af + ( a1 ) z.aER ( 1 )当a =2时，求f(x)在x=2处的切线方程；( 2 )讨论f ( . x )的单调性；( 3 )当a＞0时，设h ( x ) = x-lnx，若对于任意x1，xz ( 0，+ 0 )，均有f ( xy )＜h ( xz )，求a的取值范围.

Answer 1

问：已知函数f(x) = 1nx- af + ( a1 ) z.aER ( 1 )当a =2时，求f(x)在x=2处的切线方程；( 2 )讨论f ( . x )的单调性；( 3 )当a＞0时，设h ( x ) = x-lnx，若对于任意x1，xz ( 0，+ 0 )，均有f ( xy )＜h ( xz )，求a的取值范围.

答：亲亲，您好！已知函数f(x) = 1nx- af + ( a1 ) z.aER ( 1 )当a =2时，求f(x)在x=2处的切线方程；( 2 )讨论f ( . x )的单调性；( 3 )当a＞0时，设h ( x ) = x-lnx，若对于任意x1，xz ( 0，+ 0 )，均有f ( xy )＜h ( xz )，求a的取值范围.应该这样解答：

答：亲亲，您好！(1) 当a=2时，函数f(x) = 1lnx - 2f + (2ln2)z。要求f(x)在x=2处的切线方程，首先需要求出函数在x=2处的导数。对f(x)进行求导得到：f'(x) = 1/x，将x=2代入导数表达式，得到f'(2) = 1/2。切线方程的斜率为切线的导数，即m = f'(2) = 1/2。

问：这题老师

答：亲亲，您好！切线方程的一般形式为y = mx + c，其中m为斜率，c为常数，代入已知条件x=2，y=f(2)，得到：f(2) = 1ln2 - 2f + (2ln2)z，代入斜率m=1/2，得到：f(2) = 1/2 * 2 + c，化简得到：f(2) = 1 + c，由此可得c = f(2) - 1。所以，切线方程为y = (1/2)x + (f(2) - 1)。

答：亲亲，您好！(2) 要讨论f(x)的单调性，我们需要求出函数的导数f'(x)。对f(x)进行求导得到：f'(x) = 1/x，由于f'(x) = 1/x > 0，对所有的x > 0，所以函数f(x)在定义域x > 0上是单调递增的。(3) 要求a的取值范围使得对于任意x1，xz (0，+0)，均有f(xy) ＜ h(xz)。首先我们将f(xy)和h(xz)代入，得到：f(xy) = 1ln(xy) - af + (a1)z = 1lnx + 1lny - 2f + (2ln2)z，h(xz) = x - ln(x) = x - lnz，要求f(xy) ＜ h(xz)，即：1lnx + 1lny - 2f + (2ln2)z ＜ x - lnz，化简得到：1lnx + 1lny + lnz - 2f ＜ x，由于f(x) = 1lnx - af + (a1)z，我们可以将其代入，得到：1lnx + 1lny + lnz - 2(1lnx - af + (a1)z) ＜ x，化简得到：-1lnx + 1lny + lnz + 2af - 2(a1)z ＜ x根据不等式的性质，我们可以得到以下条件：-1 < 2a，1 < 2(a1)解这两个不等式，可以得到：-1/2 < a < 1/2，0 < a < 1，所以，a的取值范围为-1/2 < a < 1/2。

问：老师能麻烦写一下拍一下嘛

问：谢谢老师了

答：亲亲，您好！这个上面不能拍照片的哈。你按照我给你解说的作答就可以哈。

答：亲，看不到的哈，能文字描述一下吗？

问：21.(12分)已知f(x)=x²/eˣ,g(x)=a(x-1).(1)求f(x)在[一1,3]上的最值；(2)若关于x的不等式f(x)>g(x)有且只有3个正整数解，求实数a的取值范围.

答：亲亲，您好！(1) 要求f(x)在[1,3]上的最值，首先求f(x)的导数f'(x)。f(x) = x²/eˣ，f'(x) = (2x - x²)/eˣ，令f'(x) = 0，解得2x - x² = 0，即x(2 - x) = 0。得到x = 0 或 x = 2。然后，我们需要判断这两个临界点和区间端点的函数值，来确定最值。，f(1) = 1²/e = 1/e，f(2) = 2²/e² = 4/e²，f(3) = 3²/e³ = 9/e³，所以，f(x)在[1,3]上的最大值为4/e²，最小值为1/e。

答：亲亲，您好！(2) 要求f(x) > g(x) 有且只有3个正整数解，我们可以先分析f(x)和g(x)的图像。，f(x) = x²/eˣ 是一个开口向上的抛物线，最小值为1/e，当x趋近于正无穷时，f(x)趋近于无穷大。，g(x) = a(x-1) 是一个斜率为a的直线，当x趋近于正无穷时，g(x)也趋近于无穷大。

答：亲亲，您好！要使得f(x) > g(x) 有且只有3个正整数解，我们可以考虑以下几个情况：情况1：a > 0。此时，g(x)的斜率为正，当x趋近于正无穷时，g(x)趋近于无穷大。为了使得f(x) > g(x) 有3个正整数解，我们需要f(x)的图像从下方穿过g(x)的图像3次。这意味着f(x)在某些区间上需要小于g(x)，然后在另一些区间上需要大于g(x)。因此，我们可以推断出a的取值范围为a > 0。情况2：a = 0。此时，g(x)为一条水平直线，f(x)无法与g(x)交叉，因此不可能有3个正整数解满足f(x) > g(x)。所以a = 0不符合条件。实数a的取值范围为a > 0。