Question

已知齐次线性微分方程的n-1个解，如何求其通解

Answer 1

问：已知齐次线性微分方程的n-1个解，如何求其通解

答：可以通过所谓的“万能公式”来求解齐次线性微分方程的通解：假设已知齐次线性微分方程的n-1个解为y1(x), y2(x), …, yn-1(x)，则它们的Wronskian为：W(y1, y2, …, yn-1)(x) =\[ \begin{pmatrix}y1(x) & y2(x) & \cdots & yn-1(x) \\y1'(x) & y2'(x) & \cdots & yn-1'(x) \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\y1^{(n-2)}(x) & y2^{(n-2)}(x) & \cdots & yn-1^{(n-2)}(x)\end{pmatrix} \]其中yi'(x)表示y(x)对x的导数，yi^{(k)}(x)表示yi(x)对x的k阶导数。根据齐次线性微分方程的理论，它的通解可以表示为：y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + … + Cnyn(x)其中C1, C2, …, Cn是任意常数。现在我们来看一个例子：已知齐次线性微分方程：y''(x) - 2y'(x) + y(x) = 0其中，y1(x) = e^x是它的一个解。现在要求它的通解。根据万能公式，我们可以求出W(y1)(x) = e^x。因此：y(x) = C1e^x + C2f(x)其中，f(x)是一个待定的函数。我们可以用待定系数法求出f(x)：y2(x) = xf(x), y2'(x) = f(x) + xf'(x), y2''(x) = 2f'(x) + xf''(x)将y2(x)的三次导数代入原方程，有：(2f''(x) + xf'''(x)) - 2(f'(x) + xf''(x)) + xf'(x) = 0整理得：f'''(x) - xf''(x) = 0这是一个线性微分方程，可以用常系数线性微分方程的解法来求解。求出它的一个通解为：f(x) = C3 + C4x + C5x^2因此，原方程的通解为：y(x) = C1e^x + C2xf(x) = C1e^x + C2(xC3 + C4x^2 + C5x^3)注意到在这个例子中，我们只用了一个已知解y1(x)来求解齐次线性微分方程的通解。如果已知多个解，

答：可以分别用它们来求Wronskian，并通过线性组合求出通解