Question

单调函数在端点以及极值点取得极值吗

Answer 1

问：单调函数在端点以及极值点取得极值吗

答：亲亲，很高兴为您解答哦:对于定义在区间上的单调函数，其极值点和端点是可以取得极值的。具体来说：1. 单调递增函数的定义域区间左端点为a，右端点为b，那么它在x=a处取得最小值，在x=b处取得最大值。2. 单调递减函数的定义域区间左端点为a，右端点为b，那么它在x=a处取得最大值，在x=b处取得最小值。3. 对于一个单峰函数，即在定义域内存在一个局部极值点，它在极值点处取得最大或最小值，而在定义域的两个端点处取得的值则根据函数的单调性质而确定，具体来说：单峰函数是单调递增的，那么它在区间左端点处取得最小值，在极值点处取得最大值，在区间右端点处又会逐渐下降； 单峰函数是单调递减的，那么它在区间左端点处取得最大值，在极值点处取得最小值，在区间右端点处又会逐渐上升。需要注意的是，在讨论是否取得极值时，我们通常默认函数在定义域内是光滑的，即没有断点和间断点。如果存在这些点，会对函数的极值产生影响。

问：是最值点能在端点处取得吧，极值点不能

答：亲亲，是的哦

答：亲亲，拓展如下，在定义域内存在断点和间断点时，函数出现不连续点和无法求导的点，这会影响到函数极值的存在性和唯一性。具体来说：1. 对于不连续的函数，其可能不存在极值，因为函数在不连续点无法取到某些值。2. 对于有间断点的函数，其极值不唯一，因为函数在间断点处突然跳跃，而且在跳跃的两侧函数值也可能不同。3. 对于无法求导的函数，极值点是非光滑点，则该点可能不是极值点，在其他连续点上仍然有可能是极值点。因此，在讨论函数的极值性质时，我们通常默认函数在定义域内是光滑的。

问：那极值能在闭区域内取得吗

答：亲亲，可以的。闭区间是指区间的两个端点都包含在内，例如 [a,b] 就是一个闭区间。在闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值，因为它必须在端点处取到最大值和最小值，然后在区间内部也必须取到最大值和最小值，由于闭区间具有紧性质，所以该连续函数在闭区间上达到最大值和最小值。

问：那极值点和驻点的区别呢，什么情况下驻点才会是极值点

答：亲亲，极值点和驻点是微积分中的两个重要概念。极值点是指函数在某个点处取得最大值或最小值。如函数在某个点处既不取得最大值也不取得最小值，这个点就不是极值点。驻点是指函数导数为零的点，即 f'(x) = 0 的点。驻点可能是函数的极值点，也可能是拐点。当驻点是极值点时，它就是函数的极值点。判断一个驻点是否是函数的极值点，需要通过二阶导数的符号来决定。具体地说，设 f(x) 的二阶导数为 f''(x)，则：- 当 f''(x) > 0 时，f(x) 在 x 处取得局部最小值；- 当 f''(x) < 0 时，f(x) 在 x 处取得局部最大值；- 当 f''(x) = 0 时，二阶导数无法判断，需要采用其他方法如一阶导数符号变化来进一步判断。需要注意的是，并非所有的极值点都是驻点，因为函数在极值点处未必导数存在。但所有的驻点都是函数的可能极值点，因为它们是导数为零的点。