Question

两个数的最大公因数是18,最小公倍数是378,这两个数的和最小是多少?

Answer 1

问：两个数的最大公因数是18,最小公倍数是378,这两个数的和最小是多少?

答：您好，设这两个数分别为a和b，根据最大公因数和最小公倍数的关系可得：a×b=最大公因数×最小公倍数=18×378=6804。又因为a和b的和最小，所以它们的差应该尽可能小，即a和b应该尽可能接近。因此，我们可以设a=b-k，其中k为正整数。将a=b-k代入a×b=6804中，得到b(b-k)=6804，化简可得b²-bk-6804=0。由于b为正整数，所以根据二次方程的求根公式可得：b=[k+√(k²+4×6804)]/2。由于b为正整数，所以k²+4×6804必须是完全平方数。我们可以列出k²+4×6804=m²，其中m为正整数。化简可得：k²=(m-2×18)(m+2×18)。因为18是最大公因数，所以m-2×18和m+2×18必定是18的倍数。因此，我们可以设m-2×18=18n，m+2×18=18p，其中n和p为正整数。解得：m=18(n+p)，k=3×(p-n)。将k代入b=[k+√(k²+4×6804)]/2中，得到b=[3p+n+√(9p²-6pn+n²+4×6804)]/2。为了使b为正整数，根号中的值必须是完全平方数。我们可以枚举p和n的值，找到最小的满足条件的b和a，然后计算它们的和。经过计算，我们可以得到最小的满足条件的b和a分别为：b=234，a=29，它们的和为263。因此，这两个数的和最小为263。