Question

计算I=(x²+y²)的三重积分,Ω由旋转抛物面 x²+y²=2z与平面z=1,z=2

Answer 1

问：计算I=(x²+y²)的三重积分,Ω由旋转抛物面 x²+y²=2z与平面z=1,z=2

答：您好，亲，要计算函数 I = x² + y² 的三重积分，其中积分区域 Ω 由旋转抛物面 x² + y² = 2z 和平面 z = 1, z = 2 所界定。我们可以使用柱坐标系来简化积分。在柱坐标系中，变量转换如下：x = r cosθy = r sinθz = z

答：第一步是确定积分区域 Ω 的范围。根据条件，我们可以看出平面 z = 1 和 z = 2 分别与旋转抛物面相交于 z = 1 和 z = 2 的圆盘。因此，积分区域 Ω 可被描述为 1 ≤ z ≤ 2，0 ≤ r ≤ √(2z)，0 ≤ θ ≤ 2π。现在，我们可以将函数 I = x² + y² 转换为柱坐标系下的形式：I = (r cosθ)² + (r sinθ)² = r² (cos²θ + sin²θ) = r²。然后，我们可以设置积分的顺序，先进行 r 的积分，然后是 θ 的积分，最后是 z 的积分。因此，三重积分可以表示为：∭Ω (x² + y²) dV = ∫₀²π ∫₁² ∫₀^(√(2z)) r² r dr dz dθ我们可以按照这个积分的顺序计算。首先，计算 r 的积分：∫₀^(√(2z)) r² r dr = [1/4 r⁴]₀^(√(2z)) = 1/4 ((2z)² - 0) = 1/4 (4z²) = z²接下来，计算 θ 的积分：∫₀²π z² dθ = z² ∫₀²π dθ = z² [θ]₀²π = z² (2π - 0) = 2πz²

答：因此，三重积分的结果为：∭Ω (x² + y²) dV = 2π (7/3) = 14π/3所以，函数 I = x² + y² 在给定的积分区域 Ω 上的三重积分的结果为 14π/3。