Question

ln|(x-1)/(x+1)|从0到1的定积分

Answer 1

问：ln|(x-1)/(x+1)|从0到1的定积分

答：亲，您好，关于ln|(x-1)/(x+1)|从0到1的定积分，首先，我们可以将被积函数写成以下形式： ln|(x-1)/(x+1)| = ln|x-1| - ln|x+1| 然后，我们可以将积分区间分为两部分，即从0到1和从-1到0。由于被积函数在这两个区间上的表达式是相同的，因此我们只需要计算其中一个区间的定积分即可。 假设我们要计算从0到1的定积分，那么有： ∫[0,1] ln|(x-1)/(x+1)| dx = ∫[0,1] ln|x-1| dx - ∫[0,1] ln|x+1| dx 对于第一个积分，我们可以进行变量代换，令 u = x - 1，那么有： ∫[0,1] ln|x-1| dx = ∫[-1,0] ln|u| du 这是一个常见的对数函数的定积分形式，可以通过分部积分法求解。具体来说，我们可以令 u = e^v，那么有 du = e^v dv，于是有： ∫[-1,0] ln|u| du = ∫[ln|-1|,ln|0|] v e^v dv = [v e^v - e^v] = 0 类似地，对于第二个积分，我们可以令 u = x + 1，那么有： ∫[0,1] ln|x+1| dx = ∫[1,2] ln|u| du 同样地，我们可以令 u = e^v，那么有 du = e^v dv，于是有： ∫[1,2] ln|u| du = ∫[ln|1|,ln|2|] v e^v dv = [v e^v - e^v] = 0 综上所述，我们得出结论： ∫[0,1] ln|(x-1)/(x+1)| dx = 0

答：亲，您好，关于ln|(x-1)/(x+1)|从0到1的定积分为-ln2。 首先，我们可以将被积函数写成以下形式： ln|(x-1)/(x+1)| = ln|x-1| - ln|x+1| 然后，我们可以将积分区间分为两部分，即从0到1和从-1到0。 由于被积函数在这两个区间上的表达式是相同的，因此我们只需要计算其中一个区间的定积分即可。 假设我们要计算从0到1的定积分，那么有： ∫[0,1] ln|(x-1)/(x+1)| dx = ∫[0,1] ln|x-1| dx - ∫[0,1] ln|x+1| dx 对于第一个积分，我们可以进行变量代换，令 u = x - 1，那么有： ∫[0,1] ln|x-1| dx = ∫[-1,0] ln|u| du 这是一个常见的对数函数的定积分形式，可以通过分部积分法求解。 具体来说，我们可以令 u = e^v，那么有 du = e^v dv，于是有： ∫[-1,0] ln|u| du = ∫[ln|-1|,ln|0|] v e^v dv = [v e^v - e^v] = 0

答：类似地，对于第二个积分，我们可以进行变量代换。令 $u = x + 1$，那么有：$\int_{0}^{1} \ln|x+1| dx = \int_{1}^{2} \ln|u| du$。同样地，我们可以通过分部积分法求解这个定积分。具体来说，我们可以令 $u = e^v$，那么有 $du = e^v dv$。于是有：$\int_{1}^{2} \ln|u| du = \int_{\ln|1|}^{\ln|2|} v e^v dv = [v e^v - e^v]_{\ln|1|}^{\ln|2|} = \ln 2$。 因此，我们有：$\int_{0}^{1} \ln|\frac{x-1}{x+1}| dx = \int_{0}^{1} \ln|x-1| dx - \int_{0}^{1} \ln|x+1| dx = 0 - \ln 2 = -\ln 2$。 所以，$\ln|\frac{x-1}{x+1}|$从0到1的定积分为$-\ln 2$。

答：亲，这个定积分的计算过程涉及到对数函数的积分，因此需要掌握对数函数的积分公式和分部积分法。对于形如ln|x|的对数函数，我们可以通过分部积分法将其转化为一个简单的积分形式。