Question

计算∫∫s xdy∧dz +ydz∧dx+ zdx ∧ dy, 其中S是部分旋转抛物面 z=x²+y²(z≤1)的上侧。

Answer 1

问：计算∫∫s xdy∧dz +ydz∧dx+ zdx ∧ dy, 其中S是部分旋转抛物面 z=x²+y²(z≤1)的上侧。

答：(1)将曲面S向相应的坐标平面投影，求得二重积分的积分区域。(2)根据曲面的侧（即法向量的方向）确定二重积分的符号。根据积分表达式，确定投影平面，如要计算，P(x，y，z)dydz，必须将S向yz平面投影，求得二重积分的积分区域Dyz，此时，P(x，y，z)dydz=±。P(x(y，z)，y，z)dydz，其中曲面S：x=x(y，z)，(y，z)∈Dyz，二重积分的符号取决于法向量与x正向的夹角，为锐角时取正号，钝角时取负号，简记为前正、后负。