Question

f(x)=e^3x带有佩亚诺余项的n阶麦克劳林公式

Answer 1

问：f(x)=e^3x带有佩亚诺余项的n阶麦克劳林公式

答：函数 $f(x) = e^{3x}$ 的 $n$ 阶麦克劳林公式为：�(�)=∑�=0��(�)(0)�!��+��(�)f(x)=∑ k=0n​ k!f (k) (0)​ x k +R n​ (x)其中 $f^{(k)}(x)$ 表示 $f(x)$ 的 $k$ 阶导数，$R_n(x)$ 是佩亚诺余项（也叫拉格朗日余项），具体形式为：��(�)=�(�+1)(�)(�+1)!��+1R n​ (x)= (n+1)!f (n+1) (ξ)​ x n+1 其中 $\xi$ 是 $0$ 和 $x$ 之间的某个值，即 $\xi \in [0,x]$。对于 $f(x) = e^{3x}$，它的各阶导数为：�(�)=�3�f(x)=e 3x �′(�)=3�3�f ′ (x)=3e 3x �′′(�)=9�3�f ′′ (x)=9e 3x �′′′(�)=27�3�f ′′′ (x)=27e 3x ⋯⋯�(�)(�)=3��3�f (n) (x)=3 n e 3x 代入 $f^{(k)}(0)$，得：�(0)(0)=�3⋅0=1f (0) (0)=e 3⋅0 =1�(1)(0)=3�3⋅0=3f (1) (0)=3e 3⋅0 =3�(2)(0)=9�3⋅0=9f (2) (0)=9e 3⋅0 =9⋯⋯�(�)(0)=3��3⋅0=3�f (n) (0)=3 n e 3⋅0 =3 n 因此，$n$ 阶麦克劳林公式为：�3�=∑�=0�3��!��+3�+1(�+1)!�3���+1e 3x =∑ k=0n​ k!3 k ​ x k + (n+1)!3 n+1