Question

证明e^(x-2)-e^(x-1)lnx-x≥0

Answer 1

问：证明e^(x-2)-e^(x-1)lnx-x≥0

问：不好意思，请问题错了可以修改吗

问：是2x-2

答：亲 重新把问题一次性发给我

答：对于 $f(x) = e^{2x-2} - e^{x-1}\ln x - x$，我们可以对其进行求导，然后分析导函数的符号来判断不等式的成立情况。首先，对 $f(x)$ 求导，得到：$$f'(x) = 2e^{2x-2} - \frac{e^{x-1}}{x} - 1$$接下来，我们需要分析 $f'(x)$ 的符号。当 $x \leq 0$ 时，$f'(x) 0$，因为 $2e^{2x-2}$ 和 $e^{x-1}/x$ 都是正数，而 $1$ 是负数。当 $x > 0$ 时，我们可以将 $f'(x)$ 写成：$$f'(x) = \frac{xe^{2x-2} - e^{x-1}}{x} + \frac{e^{2x-2}}{x} - \frac{1}{x} - \frac{x}{x}$$其中，$\frac{xe^{2x-2} - e^{x-1}}{x}$ 可以化简为 $e^{x-1}(e^x - 1)/x$。因此，当 $x > 1$ 时，$f'(x) > 0$，因为 $e^x - 1 > x$。当 $0 < x < 1$ 时，$f'(x) < 0$，因为 $e^x - 1 < x$。当 $x = 1$ 时，$f'(x) = 0$。综上所述，$f(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 和 $[1, +\infty)$ 上单调递减，在 $(0, 1)$ 上单调递增。又因为 $f(1) = 0$，因此 $f(x) \geq 0$ 在 $[1, +\infty)$ 上成立。综上所述，原不等式在 $[1, +\infty)$ 上成立。