Question

某伞兵质量为M,在跳伞时身背质量为m的伞包。t=0的时刻，他以竖直向下的速度v1，纵身一跃跳出飞机。在t=T时，他打开了降落伞，降落伞张开的面积为S，假设在运动过程中，空气对伞兵身体的阻力不计，伞包打开后空气阻力f=KSv，其中K为阻力系数（常数），S为降落伞张开的面积，v是瞬时速度。试建立模型，分别表示t=0到t=T，t>T两个时间段内，伞兵的运动规律。（只建模，不求解）。

Answer 1

问：某伞兵质量为M，在跳伞时身背质量为m的伞包。t=0的时刻，他以竖直向下的速度v1，纵身一跃跳出飞机。在t=T时，他打开了降落伞，降落伞张开的面积为S，假设在运动过程中，空气对伞兵身体的阻力不计，伞包打开后空气阻力f=KSv，其中K为阻力系数（常数），S为降落伞张开的面积，v是瞬时速度。 在t=0到t=T时间段内，伞兵以竖直向下的速度v1开始下落，身背质量为m的伞包。由于空气阻力不计，根据牛顿第二定律，有： $Mg - mg = Ma$ 解得： $a = g - \frac{mg}{M}$ 在t>T时间段内，伞兵打开了降落伞，降落伞张开的面积为S，空气阻力f=KSv。根据牛顿第二定律，有： $Mg - f = Ma$ 解得： $a = g - \frac{f}{M} = g - \frac{KSv}{M}$

答：在 t=0 到 t=T 的时间段内，伞兵的运动规律可以用下面的模型表示： 伞兵在跳出飞机时具有向下的初速度 v1，由于空气阻力不计，伞兵在这一时间段内受到的只有重力的作用，因此他的垂直速度 v(t) 随时间的变化符合以下的运动方程： m(dv/dt) = Mg 其中，M 为伞兵和伞包的总质量，g 为重力加速度。 解这个方程可以得到： v(t) = v1 - (mg/M)t 在 t=T 时，伞兵打开降落伞。假设伞包和降落伞的总重量为 m1，降落伞在打开后可以提供一个向上的阻力 f(t)，则伞兵在这一时间段内的垂直速度 v(t) 随时间的变化符合以下的运动方程： m(dv/dt) = Mg - m1g - f(t) 其中，f(t) = KSv(t)^2，v(t) 为瞬时速度。 解这个方程可以得到： dv/dt = g - (K/M)(v1 - (mg/M)t)^2 - (m1/M)g 这个方程可以通过数值计算的方式求解。 在 t>T 的时间段内，伞兵的运动规律可以用下面的模型表示： 在伞兵的终端速度 v_term 时，降落伞提供的向上阻力等于重力向下的作用力，即： KS v_term^2 = Mg - m1g 解出 v_term 的值后，我们可以得到伞兵在 t>T 时的垂直速度 v(t) 的运动方程： dv/dt = -g + (K/M)(v_term^2 - v^2) 这个方程可以通过数值计算的方式求解。

问：假设忽略空气阻力不计，物体做自由落体运动，证明：在等距分布的时间间隔内，物体下落的位移呈等差数列。

答：### 自由落体运动中的位移和时间间隔 自由落体运动是物体仅在重力作用下的一种运动，其运动方程为： y(t) = y0 + v0t + (1/2)gt^2 其中，y(t)表示时刻t时物体的高度，y0是初始高度，v0是初始速度，g是重力加速度。 物体在等距分布的时间间隔Δt内下落的位移为Δy，时间间隔数为n。Δy的计算公式为： Δy = y(Δt) - y(0) = v0Δt + (1/2)g(Δt)^2 这里，v0是物体在时间间隔Δt内的平均速度。 因为每个时间间隔内物体的速度变化量是相等的，即： Δv = gΔt 所以，v0可以表示为： v0 = v(nΔt) - g(n-1)Δt = v(n-1)Δt - g(n-1)Δt 其中v(nΔt)表示物体下落n个时间间隔后的速度。 将v0代入Δy的式子中得到： Δy = ((v(n-1) - (n-1)gΔt) + (v(n-1) - ngΔt))Δt/2 化简后可得： Δy = (v(n-1) - (n-1/2)gΔt)Δt - (v(n-1) - (n-1/2)gΔt)Δt/2 这说明，在等距分布的时间间隔内，物体下落的位移Δy与时间间隔数n呈等差数列，公差为： d = v0Δt - (1/2)g(Δt)^2