Question

与对角矩阵可交换的矩阵是分块对称吗

Answer 1

问：与对角矩阵可交换的矩阵是分块对称吗

答：要求矩阵A的逆矩阵A^-1，需要满足以下条件：1. A*A^-1 = A^-1*A = I，其中I为单位矩阵。2. A的行列式det(A)不为0，否则A没有逆矩阵。对于2x2的矩阵A = [a b; c d]，有det(A) = ad - bc若det(A)不为0，则A的逆矩阵为A^-1 = 1/det(A) * [d -b; -c a]所以，对于矩阵A = [2 -1; 3 4]，有det(A) = 2*4 - (-1)*3 = 8 + 3 = 11因此，A的逆矩阵为A^-1 = 1/11 * [4 1; -3 2]

问：能不能再展开讲讲？

答：不一定。对角矩阵的特殊性质使得它与许多矩阵可交换，但是分块对称矩阵与对角矩阵可交换的情况并不一定成立。例如，考虑如下的分块对称矩阵：$$\begin{pmatrix}A & B \\B^T & C\end{pmatrix}$$其中 $A$ 和 $C$ 都是对角矩阵，$B$ 是任意矩阵。如果对角矩阵与该矩阵可交换，则有：$$\begin{pmatrix}A & B \\B^T & C\end{pmatrix}\begin{pmatrix}D & 0 \\0 & E\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}D & 0 \\0 & E\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A & B \\B^T & C\end{pmatrix}$$展开可得：$$\begin{pmatrix}AD & AB \\B^TD & BE\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}AD & BD \\0 & CE\end{pmatrix}$$从而有 $B^TD=0$ 和 $BD=0$，即 $B=0$。因此，只有当 $B=0$ 时，分块对称矩阵与对角矩阵可交换。