Question

已知f(x)=ln1+x/1-x求证f(x)+f(y)=f(xy/1+y)

Answer 1

问：已知f(x)=ln1+x/1-x求证f(x)+f(y)=f(xy/1+y)

答：您好，我是百度问一问的合作老师小高老师，擅长初高中大学教育，现在已从事教育行业10年，很高兴为您服务。麻烦您耐心等待一下，大约5分钟。

答：f(x)+f(y)=f(xy/1+y)

答：已知 $f(x) = \ln\frac{1+x}{1-x}$ 求证：$f(x) + f(y) = f\left(\frac{xy}{1+y}\right)$ 解题： 因为 $f(x) = \ln\frac{1+x}{1-x} = \ln(1+x) - \ln(1-x)$ 所以 $f(y) = \ln(1+y) - \ln(1-y)$ $f\left(\frac{xy}{1+y}\right) = \ln\frac{1+xy}{1+y} - \ln\frac{1-xy}{1+y}$ $= \ln\left(\frac{1+y+xy}{1+y}\right) - \ln\left(\frac{1+y-xy}{1+y}\right)$ $= \ln(1+y+xy) - \ln(1+y) - \ln(1+y-xy) + \ln(1+y)$ $= \ln(1+y+xy) - \ln(1+y-xy)$ 因为 $f(x) + f(y) = \ln(1+x) - \ln(1-x) + \ln(1+y) - \ln(1-y)$ $= \ln((1+x)(1+y)) - \ln((1-x)(1+y))$ $= \ln(1+y+x+xy) - \ln(1+y-x-xy)$ $= \ln(1+y+xy) - \ln(1+y-xy)$ 所以 $f(x) + f(y) = f\left(\frac{xy}{1+y}\right)$

答：已知 f(x) = ln(1+x/1-x)，我们需要证明 f(x) + f(y) = f(xy/(1+y))。 首先，我们计算 f(x) 和 f(y) 的表达式： f(x) = ln((1+x)/(1-x)) = ln(1+x) - ln(1-x) f(y) = ln((1+y)/(1-y)) = ln(1+y) - ln(1-y) 接下来，我们计算 f(xy/(1+y)) 的表达式： f(xy/(1+y)) = ln((1+xy/(1+y))/(1-xy/(1+y))) = ln((1+y+xy)/(1+y)) - ln((1+y-xy)/(1+y)) = ln(1+y+xy) - ln(1+y) - ln(1+y-xy) + ln(1+y) = ln(1+y+xy) - ln(1+y-xy) 现在，我们计算 f(x) + f(y) 的表达式： f(x) + f(y) = ln(1+x) - ln(1-x) + ln(1+y) - ln(1-y) = ln((1+x)(1+y)) - ln((1-x)(1+y)) = ln(1+y+x+xy) - ln(1+y-x-xy) = ln(1+y+xy) - ln(1+y-xy) 通过比较，我们发现 f(x) + f(y) 和 f(xy/(1+y)) 的表达式是相同的，因此证明了 f(x) + f(y) = f(xy/(1+y))。