Question

分求伯努利方程的解 (dy)/(dx)+y/x=y^2的通解

Answer 1

问：分求伯努利方程的解 (dy)/(dx)+y/x=y^2的通解

答：伯努利方程为 dy/dx + p(x)y = q(x)y^n，其中 n ≠ 0,1。对于这个问题，我们有：dy/dx + y/x = y^2我们可以将该方程转化为伯努利方程的形式。将 y^2 移至等式左侧，得到：dy/dx + y/x - y^2 = 0将 p(x) 取为 -1，q(x) 取为 0，n 取为 2。因此，我们要使用变量代换方法，将 y^2 替换为 u，然后将 y 表示为 u 的函数。设 u = y^2，那么我们有：du/dx = 2y dy/dx因此，我们可以将原方程改写为：du/dx + 2/x u - 2y/x u = 0将 -2y/x 移至等式左侧，得到：du/dx + 2/x u = 2y/x u

答：du/dx + 2/x u = 2y/x u我们可以将该方程写成伯努利方程的形式：du/dx + 2/x u = 2u^(1/2) / x将公式 dy/dx + p(x)y = q(x)y^n 中的 p(x) 和 q(x) 分别替换为 2/x 和 2u^(1/2) / x，我们可以得到一个新的变量：z = u^(1/2)则有：dz/dx = 1/2u^(-1/2) du/dx将 du/dx 代入上式，得到：dz/dx = 1/xz - 1/x

答：这是一个一阶线性微分方程，可以用标准的求解方法解决。将其转换为标准形式：dz/dx + 1/x z = 1/x将方程两侧乘以积分因子 x，得到：xdz/dx + z = 1对于等式左侧的部分，我们可以使用乘法法则：d(xz)/dx = 1对等式两侧同时积分，得到：xz = ln(x) + C将 z = u^(1/2) 代回原式，得到：u^(1/2) = (ln(x) + C) / x将 u = y^2 代回原式，得到：y = ± [ (ln(x) + C) / x ]^(1/2)因此，该伯努利方程的通解为：y = ± [ (ln(x) + C) / x ]^(1/2)

答：亲，不还意思哦

答：一个次只能解决一个问题o

答：首先，我们将方程(y²-x²)dx-2xydy=0 改写为：dy/dx + (2x/y) = y/x这是一个一阶线性常微分方程，可以用常数变易法求解。首先将方程变形，得到：dy/y - dx/x = -2xdx/(y(y²-x²))设u(x, y) = ln|x| + ln|y|，则u的偏导数为：u_x = 1/x，u_y = 1/y，du = u_x dx + u_y dy将u(x, y)代入方程，得到：ln|x|/x + ln|y|/y = -2xdx/(y(y²-x²))移项得：dy/dx + (2x/y) = y/x将u(x, y)代入可得：e^u = e^(ln|x| + ln|y|) = xy所以通解为：xy = Ce^(x²-y²)由y(1)=1得C=1，所以解为：xy = e^(x²-y²)因此，满足y(1)=1的解为xy=e^(x²-y²)。