Question

5.设f(x)=1/x,则差商f[1,2,⋯,n]=+-1.

Answer 1

问：5.设f(x)=1/x,则差商f[1,2,⋯,n]=+-1.

答：亲亲~我们可以通过数学归纳法证明差商 f[1, 2, \ldots, n]f[1,2,…,n] 的值为 \pm 1±1。当 n=1n=1 时，f[1]=f(1)=1/1=1f[1]=f(1)=1/1=1，命题成立。现在假设命题对于 n=kn=k 成立，即 f[1,2,\ldots,k]=\pm 1f[1,2,…,k]=±1。我们需要证明当 n=k+1n=k+1 时，命题也成立。根据差商的定义因此，命题对于 n=k+1n=k+1 也成立。由数学归纳法可知，命题对于任意正整数 nn 均成立，即 f[1,2,\ldots,n]=\pm 1f[1,2,…,n]=±1

答：相关扩展：这个问题可以进一步扩展到更一般的函数 f(x)f(x) 上。具体地，如果 f(x)f(x) 是一个 k+1k+1 次多项式，则差商 f[x_0,x_1,\ldots,x_k]f[x 0 ,x 1 ,…,x k ] 的值是一个常数，即存在 a \in \mathbb{R}a∈R 使得 f[x_0,x_1,\ldots,x_k] = af[x 0 ,x 1 ,…,x k ]=a。这个结论可以通过使用数学归纳法和关于多项式插值的理论证明。假设 f(x)f(x) 是一个 k+1k+1 次多项式，当 n=0n=0 时，显然差商 f[x_0] = f(x_0)f[x 0 ]=f(x 0 )，此时命题成立。现在假设命题对于 n=kn=k 成立