Question

2.求微分方程 y`+2xy=4x 在初始条件 y|x=0=3 下的特解.

Answer 1

问：2.求微分方程 y`+2xy=4x 在初始条件 y|x=0=3 下的特解.

答：要求微分方程 y` + 2xy = 4x 在初始条件 y|x=0=3 下的特解，我们可以使用分离变量的方法来解决。首先，将微分方程写成标准形式：dy/dx + 2xy = 4x接下来，我们将变量进行分离，将含有 y 的项移到方程的一边，将含有 x 的项移到方程的另一边：dy = (4x - 2xy)dx现在，我们可以对方程两边同时进行积分：∫dy = ∫(4x - 2xy)dx对左侧进行积分，得到：y = ∫(4x - 2xy)dx对右侧进行积分，我们需要使用分部积分法。令 u = x 和 v = y，我们可以得到 du = dx 和 dv = (4 - 2x)dx。将 u 和 v 代入分部积分公式：∫u*dv = uv - ∫v*du∫(4x - 2xy)dx = x * y - ∫y*dx将结果代入方程，得到y = x * y - ∫y*dx移项后得到：∫y*dx = (x-1) * y现在，我们可以对方程两边同时进行积分，注意此时 y 是作为被积函数：∫y*dx = ∫(x-1) * y * dx由于初始条件 y|x=0=3，我们可以将初始条件带入方程，得到：∫[3]*dx = ∫(x-1) * y * dx对方程两边同时积分，解出积分：3x + C = ∫(x-1) * y * dx其中，C 是积分常数。最后，我们可以根据初始条件来确定常数 C。由初始条件 y|x=0=3，我们可以得到：3(0) + C = ∫(0-1) * 3 * dx化简上式，可以得到：C = ∫(-3) * dx计算右侧积分，得到：C = -3x + D其中， D 是常数。综上所述，微分方程 y` + 2xy = 4x 在初始条件 y|x=0=3 下的特解为：y = (x - 1) * y + 3x - 3x + D其中 D 是常数。