Question

[(x+1)(1+x^2)]/1的不定积分

Answer 1

问：[(x+1)(1+x^2)]/1的不定积分

答：亲亲您好，很高兴为您解答：[(x+1)(1+x^2)]/1的不定积分可以将被积函数分解成两个乘积： $$ \frac{(x+1)(1+x^2)}{1} = (x+1)(1+x^2) $$ 然后，可以使用分部积分法来求不定积分。取 $u=x+1$，$dv=(1+x^2)dx$，则 $du=dx$，$v=\int(1+x^2)dx=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x+C$，其中 $C$ 为常数。根据分部积分公式，有： $$ \begin{aligned} \int(x+1)(1+x^2)dx &= \int u,dv \ &= uv - \int v,du \ &= (x+1)\left(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x+C\right)- \int\left(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x+C\right)dx \ &= \frac{1}{3}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + x + C_1, \end{aligned} $$ 其中 $C_1$ 是常数。因此，$[(x+1)(1+x^2)]/1$ 的不定积分是 $\frac{1}{3}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + x + C_1$。

答：扩展资料：分部积分法是求函数积分的一种常用方法，它用到了积分中的乘法公式。设 $u=u(x)$，$v=v(x)$ 是两个具有连续导数的函数，则根据分部积分公式，有： $$ \int u,dv = uv - \int v,du. $$这个公式也可以写成微分形式： $$ d(uv) = v,du + u,dv, $$ 对其两边同时积分，得到 $$ \int d(uv) = \int v,du + \int u,dv, $$ 即 $$ uv = \int v,du + \int u,dv. $$该公式的意义是将原本难以求解的积分问题，转化为一个更容易求解的积分问题。具体来说，在应用分部积分法时，需要选择适当的 $u$ 和 $dv$，使得 $\int v,du$ 更容易求解，然后利用上述公式计算被积函数的积分。