已知函数G：ax²+bx,且点X(p,q)、点Y（r，s）均在函数G的图像上，且p=r+a，q=s+2r-3a.已知a=1.（1）求函数G的解析式 .（2）现已知在函数G上有一点A(3，m),过A点的直线l₁与G交于A、B两点,连接AB，直线l₂过点A且与G相切.在线段AB上有一动点P（与A、B不重合），过P点作y轴平行线交G与点C，交直线l₂与D，连接BC,过点D作DE//BC交l₁与点E，且DE与G相切，求P点的轨迹方程以及P点纵坐标的取值范围
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同学~下午好呀
(1) 求函数 G 的解析式：已知函数 G：ax² + bx，代入 a = 1，得到 G 的解析式为：G(x) = x² + bx。(2) 求 P 点的轨迹方程以及纵坐标的取值范围：首先，过点 A(3, m) 作 y 轴平行线，与函数 G 相交于点 C。设该平行线的方程为 x = k，其中 k 为常数。由于直线 l₁ 过点 A(3, m) 且与函数 G 相交于 A、B 两点，可得到以下方程：G(3) = m => 3² + b*3 = m => 9 + 3b = m => b = (m - 9) / 3 (1)G(k) = m => k² + bk = m (2)将方程 (1) 中的 b 代入方程 (2)，得到：k² + ((m - 9) / 3) * k = m整理后可得：k² + (m/3 - 3) * k - m = 0这是关于 k 的一元二次方程，记为 f(k) = k² + (m/3 - 3) * k - m = 0。根据题意，直线 l₂ 过点 A(3, m) 且与函数 G 相切。因此，直线 l₂ 与函数 G 的切点的横坐标必然为 3。代入 G(x) = x² + bx 中，得到：G(3) = 3² + b*3 = m9 + 3b = m联立方程 (1) 和上述方程，可解得 b = (9 - m) / 3。由于直线 l₂ 过点 A(3, m)，斜率为函数 G 在该点的导数值。求导得到 G'(x) = 2x + b。将 x = 3 和 b = (9 - m) / 3 代入上述导数式中，得到：G'(3) = 2*3 + (9 - m) / 3 = 6 + (9 - m) / 3 = 15/3 - m/3 = 5 - m/3由于直线 l₂ 与函数 G 相切，直线 l₂ 的斜率应等于函数 G 在点 A(3, m) 处的导数值。因此，直线 l₂ 的斜率为 5 - m/3。根据题意，线段 AB 上有一动点 P（与 A、B 不重合），过 P 点作 y 轴平行线交 G 与点 C，交直线 l₂ 于点 D。连接 BC，过点 D 作 DE // BC，交直线 l₁ 于点 E，且 DE 与 G 相切。
(1) 求函数 G 的解析式：已知函数 G：ax² + bx，代入 a = 1，得到 G 的解析式为：G(x) = x² + bx。(2) 求 P 点的轨迹方程以及纵坐标的取值范围：首先，过点 A(3, m) 作 y 轴平行线，与函数 G 相交于点 C。设该平行线的方程为 x = k，其中 k 为常数。由于直线 l₁ 过点 A(3, m) 且与函数 G 相交于 A、B 两点，可得到以下方程：G(3) = m => 3² + b*3 = m => 9 + 3b = m => b = (m - 9) / 3 (1)G(k) = m => k² + bk = m (2)将方程 (1) 中的 b 代入方程 (2)，得到：k² + ((m - 9) / 3) * k = m整理后可得：k² + (m/3 - 3) * k - m = 0这是关于 k 的一元二次方程，记为 f(k) = k² + (m/3 - 3) * k - m = 0。根据题意，直线 l₂ 过点 A(3, m) 且与函数 G 相切。因此，直线 l₂ 与函数 G 的切点的横坐标必然为 3。代入 G(x) = x² + bx 中，得到：G(3) = 3² + b*3 = m9 + 3b = m联立方程 (1) 和上述方程，可解得 b = (9 - m) / 3。由于直线 l₂ 过点 A(3, m)，斜率为函数 G 在该点的导数值。求导得到 G'(x) = 2x + b。将 x = 3 和 b = (9 - m) / 3 代入上述导数式中，得到：G'(3) = 2*3 + (9 - m) / 3 = 6 + (9 - m) / 3 = 15/3 - m/3 = 5 - m/3由于直线 l₂ 与函数 G 相切，直线 l₂ 的斜率应等于函数 G 在点 A(3, m) 处的导数值。因此，直线 l₂ 的斜率为 5 - m/3。根据题意，线段 AB 上有一动点 P（与 A、B 不重合），过 P 点作 y 轴平行线交 G 与点 C，交直线 l₂ 于点 D。连接 BC，过点 D 作 DE // BC，交直线 l₁ 于点 E，且 DE 与 G 相切。
咨询记录 · 回答于2023-07-01
已知函数G：ax²+bx,且点X(p,q)、点Y（r，s）均在函数G的图像上，且p=r+a，q=s+2r-3a.已知a=1.（1）求函数G的解析式 .（2）现已知在函数G上有一点A(3，m),过A点的直线l₁与G交于A、B两点,连接AB，直线l₂过点A且与G相切.在线段AB上有一动点P（与A、B不重合），过P点作y轴平行线交G与点C，交直线l₂与D，连接BC,过点D作DE//BC交l₁与点E，且DE与G相切，求P点的轨迹方程以及P点纵坐标的取值范围
同学~下午好呀(1) 求函数 G 的解析式：已知函数 G：ax² + bx，代入 a = 1，得到 G 的解析式为：G(x) = x² + bx。(2) 求 P 点的轨迹方程以及纵坐标的取值范围：首先，过点 A(3, m) 作 y 轴平行线，与函数 G 相交于点 C。设该平行线的方程为 x = k，其中 k 为常数。由于直线 l₁ 过点 A(3, m) 且与函数 G 相交于 A、B 两点，可得到以下方程：G(3) = m => 3² + b*3 = m => 9 + 3b = m => b = (m - 9) / 3 (1)G(k) = m => k² + bk = m (2)将方程 (1) 中的 b 代入方程 (2)，得到：k² + ((m - 9) / 3) * k = m整理后可得：k² + (m/3 - 3) * k - m = 0这是关于 k 的一元二次方程，记为 f(k) = k² + (m/3 - 3) * k - m = 0。根据题意，直线 l₂ 过点 A(3, m) 且与函数 G 相切。因此，直线 l₂ 与函数 G 的切点的横坐标必然为 3。代入 G(x) = x² + bx 中，得到：G(3) = 3² + b*3 = m9 + 3b = m联立方程 (1) 和上述方程，可解得 b = (9 - m) / 3。由于直线 l₂ 过点 A(3, m)，斜率为函数 G 在该点的导数值。求导得到 G'(x) = 2x + b。将 x = 3 和 b = (9 - m) / 3 代入上述导数式中，得到：G'(3) = 2*3 + (9 - m) / 3 = 6 + (9 - m) / 3 = 15/3 - m/3 = 5 - m/3由于直线 l₂ 与函数 G 相切，直线 l₂ 的斜率应等于函数 G 在点 A(3, m) 处的导数值。因此，直线 l₂ 的斜率为 5 - m/3。根据题意，线段 AB 上有一动点 P（与 A、B 不重合），过 P 点作 y 轴平行线交 G 与点 C，交直线 l₂ 于点 D。连接 BC，过点 D 作 DE // BC，交直线 l₁ 于点 E，且 DE 与 G 相切。
(1) 求函数 G 的解析式：已知函数 G：ax² + bx，代入 a = 1，得到 G 的解析式为：G(x) = x² + bx。(2) 求 P 点的轨迹方程以及纵坐标的取值范围：首先，过点 A(3, m) 作 y 轴平行线，与函数 G 相交于点 C。设该平行线的方程为 x = k，其中 k 为常数。由于直线 l₁ 过点 A(3, m) 且与函数 G 相交于 A、B 两点，可得到以下方程：G(3) = m => 3² + b*3 = m => 9 + 3b = m => b = (m - 9) / 3 (1)G(k) = m => k² + bk = m (2)将方程 (1) 中的 b 代入方程 (2)，得到：k² + ((m - 9) / 3) * k = m整理后可得：k² + (m/3 - 3) * k - m = 0这是关于 k 的一元二次方程，记为 f(k) = k² + (m/3 - 3) * k - m = 0。根据题意，直线 l₂ 过点 A(3, m) 且与函数 G 相切。因此，直线 l₂ 与函数 G 的切点的横坐标必然为 3。代入 G(x) = x² + bx 中，得到：G(3) = 3² + b*3 = m9 + 3b = m联立方程 (1) 和上述方程，可解得 b = (9 - m) / 3。由于直线 l₂ 过点 A(3, m)，斜率为函数 G 在该点的导数值。求导得到 G'(x) = 2x + b。将 x = 3 和 b = (9 - m) / 3 代入上述导数式中，得到：G'(3) = 2*3 + (9 - m) / 3 = 6 + (9 - m) / 3 = 15/3 - m/3 = 5 - m/3由于直线 l₂ 与函数 G 相切，直线 l₂ 的斜率应等于函数 G 在点 A(3, m) 处的导数值。因此，直线 l₂ 的斜率为 5 - m/3。根据题意，线段 AB 上有一动点 P（与 A、B 不重合），过 P 点作 y 轴平行线交 G 与点 C，交直线 l₂ 于点 D。连接 BC，过点 D 作 DE // BC，交直线 l₁ 于点 E，且 DE 与 G 相切。
由于线段 DE // BC，所以直线 DE 与直线 l₁ 是平行的。因此，直线 DE 的斜率与直线 l₁ 的斜率相等。直线 l₁ 的斜率为 0，因为它是与 y 轴平行的。因此，直线 DE 的斜率也为 0。考虑到直线 DE 与函数 G 相切，而函数 G 在任意点 x 处的斜率为 G'(x) = 2x + b，所以直线 DE 的斜率应等于 G'(x)。因此，2x + b = 0。将 b = (9 - m) / 3 代入上述方程，得到：2x + (9 - m) / 3 = 02x = (m - 9) / 3x = (m - 9) / 6由于 P 点的纵坐标为 m，横坐标为 (m - 9) / 6，所以 P 点的轨迹方程为：y = m, x = (m - 9) / 6至于纵坐标的取值范围，需要进一步分析。根据题意可知，直线 l₂ 与函数 G 相切，因此直线 l₂ 的斜率为 5 - m/3。而函数 G 在点 A(3, m) 处的导数为 G'(3) = 5 - m/3。因此，直线 l₂ 的斜率应等于函数 G 在点 A(3, m) 处的导数值，即：5 - m/3 = 5 - m/3解这个方程可得 m = 0。综上所述，P 点的轨迹方程为 y = m, x = (m - 9) / 6，并且 P 点的纵坐标的取值范围为 m ∈ (-∞, +∞)。
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