Question

如何证明数列 ｛(2的n次方-1)/3的n次方｝的极限为0？

Answer 1

问：如何证明数列 ｛(2的n次方-1)/3的n次方｝的极限为0？

答：要证明数列 {(2^n-1)/(3^n)} 的极限为0，可以使用数学归纳法进行证明。首先，对于 n = 1，数列的第一项为 (2^1-1)/(3^1) = 1/3，显然小于1，满足条件。假设对于某个正整数 k，数列的第 k 项满足 (2^k-1)/(3^k) < 1/2。我们需要证明对于 n = k+1，数列的第 k+1 项也满足 (2^(k+1)-1)/(3^(k+1)) < 1/2。根据数列的定义可知，第 k+1 项为：(2^(k+1)-1)/(3^(k+1)) = (2*(2^k)-1)/(3*(3^k)) = (2*(2^k)-2^k+2^k-1)/(3*(3^k)) = ((2*2^k)-2^k+2^k-1)/(3*(3^k)) = ((3*2^k)-1)/(3*(3^k)) = (3/3) * (2^k)/(3^k) - 1/(3*(3^k)).根据归纳假设，我们知道 (2^k)/(3^k) < 1/2，所以可以将它代入上面的式子中：(3/3) * (2^k)/(3^k) < (3/3) * (1/2) = 1/2。因此，(3/3) * (2^k)/(3^k) - 1/(3*(3^k)) 1/2 - 1/(3*(3^k)) = 1/2 - 1/(3^(k+1)).可以看出，(3/3) * (2^k)/(3^k) - 1/(3*(3^k)) 小于 1/2 - 1/(3^(k+1)) ，而 1/2 - 1/(3^(k+1)) 可以表示为 1/2 - 1/2 * (1/3^(k+1))，即 1/2 * (1 - 1/(3^(k+1)))。因为归纳假设成立，所以 1 - (1/(3^(k+1))) > 0，所以 1/2 * (1 - 1/(3^(k+1))) > 0，所以 (3/3) * (2^k)/(3^k) - 1/(3*(3^k)) > 0。综上所述，对于任意正整数 k，数列的第 k+1 项满足 (2^(k+1)-1)/(3^(k+1)) < 1/2。根据归纳法，对于任意正整数 n，数列的第 n 项满足 (2^n-1)/(3^n) < 1/2。而 1/2 作为一个常数，在数列中无论 n 取多大，数列的项都小于 1/2。所以，数列的极限为0。