Question

3.求圆 x^2+y^2+4x-2y-1=0 关于直线l:2x-y-5=0的对方程,

Answer 1

问：3.求圆 x^2+y^2+4x-2y-1=0 关于直线l:2x-y-5=0的对方程,

答：17x1^2 - 48x1 + 25y1^2 - 142y1 - 255 = 0

答：首先将圆的方程化为标准式：x^2 + 4x + y^2 - 2y = 1通过配方法则为：(x+2)^2-4+(y-1)^2-1=0(x+2)^2+(y-1)^2=5可知圆心坐标为(-2, 1)，半径r=√5接下来，求直线l的斜率k：k = 2由于直线l经过点A（2，9），则直线l的方程为：y - 9 = 2(x - 2)即：y = 2x + 5直线l的法线方程为：y - 9 = (-1/2)(x - 2)即：y = (-1/2)x + 10圆心到直线l的距离为法线方程的截距，即10。从圆心到直线l的距离与圆的直径垂直，因此可得直径的方向向量为(-2, 1)。设对称点P在直线l的另一侧，对称点P的直线方程为：y - 9 = (-1/2)(x - 2) + 20即：y = (-1/2)x + 29设对称点P的坐标为(x1, y1)，则有：(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = (x1 + 2)^2 + (y1 - 1)^2(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = (x1 + 2)^2

答：将圆的方程中的x^2和y^2用对称点P的坐标表示，代入圆的标准方程可得：(x1 + 2)^2 + (4x1 - 11)^2 + 4(x1 + 2) - 2(4x1 - 11) - 1 = 5化简后可得到对称方程：17x1^2 - 48x1 + 25y1^2 - 142y1 - 255 = 0