Question

3.求圆 x^2+y^2+4x-2y-1=0 关于直线l:2x-y-5=0的对方程,

Answer 1

问：3.求圆 x^2+y^2+4x-2y-1=0 关于直线l:2x-y-5=0的对方程,

答：首先，我们需要找到直线 l 的垂线方程，因为点到直线的距离是垂线的长度，且圆的对称中心在垂线上。直线 l 的斜率为 2，所以它的垂线的斜率为 -1/2。过圆心 (-2,1) 并且垂直于直线 l 的直线的方程可以表示为：y - 1 = (-1/2)(x + 2)化简得：2y - x - 5 = 0这是圆的对称轴的方程，现在我们需要找到圆关于这条直线的对称点。设圆上任意一点为 (x1, y1)，圆的对称点为 (x2, y2)。根据对称性质可得：(x2 + x1)/2 = -2 => x2 = -4 - x1(y2 + y1)/2 = 2-y1 => y2 = 2 - 2y1由圆的方程可得：x1^2 + y1^2 + 4x1 - 2y1 - 1 = 0将 y1 用 y2 表示，得：x1^2 + (2 - y2)^2 + 4x1 + 2y2 - 5 = 0将 x1 用 x2 表示，得：(x2 + 4)^2 + (2 - y2)^2 - 16 + 2y2 - 5 = 0化简得：x2^2 + y2^2 + 4x2 - 2y2 - 1 = 0这就是圆关于直线 l 对称的方程。

答：首先，我们需要找到直线 l 的垂线方程，因为点到直线的距离是垂线的长度，且圆的对称中心在垂线上。直线 l 的斜率为 2，所以它的垂线的斜率为 -1/2。过圆心 (-2,1) 并且垂直于直线 l 的直线的方程可以表示为：y - 1 = (-1/2)(x + 2)化简得：2y - x - 5 = 0这是圆的对称轴的方程，现在我们需要找到圆关于这条直线的对称点。设圆上任意一点为 (x1, y1)，圆的对称点为 (x2, y2)。根据对称性质可得：(x2 + x1)/2 = -2 => x2 = -4 - x1(y2 + y1)/2 = 2-y1 => y2 = 2 - 2y1由圆的方程可得：x1^2 + y1^2 + 4x1 - 2y1 - 1 = 0将 y1 用 y2 表示，得：x1^2 + (2 - y2)^2 + 4x1 + 2y2 - 5 = 0将 x1 用 x2 表示，得：(x2 + 4)^2 + (2 - y2)^2 - 16 + 2y2 - 5 = 0化简得：x2^2 + y2^2 + 4x2 - 2y2 - 1 = 0这就是圆关于直线 l 对称的方程。