Question

1.证明:调和级数-|||-=1/(n-1)=1+1/2+1/3+1/4++1/n+-|||-是发散的,并使用该结

Answer 1

问：1.证明:调和级数-|||-=1/(n-1)=1+1/2+1/3+1/4++1/n+-|||-是发散的,并使用该结

答：亲，很高兴为您解答问题~论证明该级数的发散性，我们可以采用两种方法：方法1：比较判别法由于调和级数的每一项均为正数，因此我们可以考虑与一个发散的级数进行比较。根据调和级数的定义，我们有：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n > 1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + ... + 1/2k + 1/2k其中k为小于等于n的最大的2的整数次幂，即k=log2(n)。显然，右边这个级数的和为：1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + ... + 1/2k + 1/2k = k/2又因为：k = log2(n) 2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n > k/2 = log2(n)/2由于log2(n)随着n的增大而增大，因此当n趋向于无穷大时，log2(n)/2也趋向于无穷大。因此，根据比较判别法，原级数也发散。方法2：积分判别法我们可以利用积分判别法来推导调和级数的收敛性。具体来说，我们将原级数的每一项都写成一个函数f(x) = 1/x，然后将其对应的积分作为比较对象：∫1/(x-1)dx首先注意到，由于在调和级数中，每一个分母都大于等于1，因此我们可以将上述积分的下限调整为1。根据积分的定义，我们有：∫1/(x-1)dx = lim（t->+∞）∫1/(x-1)dx (下限为1，上限为t)= lim（t->+∞）ln|x-1|（下限为1，上限为t）注意到该积分在x=1处不收敛，因此我们需要将其分成两个积分：∫1/(x-1)dx = lim（t->+∞）[ln(t-1) - ln(0)]= ∞由于上述积分发散，因此根据积分判别法，原级数也发散。