Question

假设f (z), g(z)在区域D内解析.若对一切z ∈ D有|f (z)| = |g(z)|，则f (z)与g(z)有何关系?试对你的断言加以证明.

Answer 1

问：假设f (z), g(z)在区域D内解析.若对一切z ∈ D有|f (z)| = |g(z)|， 则f (z)与g(z)有何关系?试对你的断言加以证明.

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答：假设f (z), g(z)在区域D内解析.若对一切z ∈ D有|f (z)| = |g(z)|， 则f (z)与g(z)有何关系?试对你的断言加以证明.证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)（1）若f(z)恒为0，则结论显然成立。（2）若f(z)不恒为0由f(z)解析得：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x C-R条件|f(z)|=u^2+v^2为非零常数，因此该函数对x和y的偏导数均为0，得：2u∂u/∂x+2v∂v/∂x=0，即u∂u/∂x+v∂v/∂x=0 (1)2u∂u/∂y+2v∂v/∂y=0，即u∂u/∂y+v∂v/∂y=0 (2)将C-R条件代入(2)两式得：-u∂v/∂x+v∂u/∂x=0 (3)联立(1)(3)两式，将∂u/∂x，∂v/∂x看作未知数，u，v看作系数，该方程组的系数行列式为u vv -u=-u^2-v^2≠0因为系数行列式非0，因此方程组只有零解，得：∂u/∂x=0，∂v/∂x=0再联合C-R条件知，∂u/∂y=0，∂v/∂y=0因此，u，v与x，y均无关，则u，v均为常数，所以f(z)=u(x,y)+iv(x,y)为常数。