集合是数域上的线性空间证明

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攸you同学

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摘要一：线性子空间

设 V 是数域 K 上的线性空间，集合 U 是集合 V 的子集

考虑到如果集合 U 中元素满足以下两种情况

1) \forall \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} \in U , \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta} \in U

2) \forall \boldsymbol{\gamma} \in U,k \in K , k \boldsymbol{\gamma} \in U

我们来探究一下满足上面两个条件集合 U 有哪些奇妙的性质

现在我们来探究 U 也是四八四数域 K 上的一个线性空间

因为 V 是线性空间， U 是其子集，因此 U 中元素全部都在 V 中

不难得出

\forall \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma} \in U , k,l \in K 有

i)\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}

ii)\boldsymbol{\alpha}+\left({\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma}}\right)=\left({\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}}\right)+\boldsymbol{\gamma}

iii)k\left({l\boldsymbol{\alpha}}\right)=\left({kl}\right)\boldsymbol{\alpha}

iv)\boldsymbol{\alpha}=1\boldsymbol{\alpha}

v)\left({k+l}\right)\boldsymbol{\alpha}=k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\alpha}

vi)k\left({\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}}\right)=k\boldsymbol{\alpha}+k\boldsymbol{\beta}

现在我们还有两个条件没有得到

vii) U 中有没有零元？

viii) \forall \boldsymbol{\gamma} \in U , -\boldsymbol{\gamma} 是否也属于 U ？

事实上根据条件 2) 和已经证明的我们有可以证明

\mathbf{proof}

\forall \boldsymbol{\gamma} \in U,k \in K ， k \boldsymbol{\gamma} \in U

这里我们取 k=-1 , 0

可以得到 \forall\boldsymbol{\gamma} \in U, \quad -1\boldsymbol{\gamma}=-\boldsymbol{\gamma}\in U

\forall\boldsymbol{\gamma} \in U, \quad 0\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{0}\in U

\mathbf{Q.E.D}

综上可知，集合 U 满足线性空间的8个条件

故而 U 也是数域 K 上的一个线性空间

又 U 为线性空间 V 的一个子集，因此我们称 U 为 V 的一个线性子空间

简称为子空间

咨询记录 · 回答于2022-03-12

集合是数域上的线性空间证明

您好，您的问题我已经看到了，正在整理答案，请稍等一会儿哦~

你好，数域是一种线性空间.但数域比线性空间多了很多性质,两者不能等同.是的,kP也在P内.由于P是数域,k∈P,由数域本身的乘法封闭性可知,k与P中任意数相乘仍属于P

希望我的回答能对你有所帮助

感谢你的提问

可以的话请给我一个赞吧

没懂，能在解释一下吗？

一：线性子空间设 V 是数域 K 上的线性空间，集合 U 是集合 V 的子集考虑到如果集合 U 中元素满足以下两种情况1) \forall \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} \in U , \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta} \in U2) \forall \boldsymbol{\gamma} \in U,k \in K , k \boldsymbol{\gamma} \in U我们来探究一下满足上面两个条件集合 U 有哪些奇妙的性质现在我们来探究 U 也是四八四数域 K 上的一个线性空间因为 V 是线性空间， U 是其子集，因此 U 中元素全部都在 V 中不难得出\forall \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma} \in U , k,l \in K 有i)\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}ii)\boldsymbol{\alpha}+\left({\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma}}\right)=\left({\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}}\right)+\boldsymbol{\gamma}iii)k\left({l\boldsymbol{\alpha}}\right)=\left({kl}\right)\boldsymbol{\alpha}iv)\boldsymbol{\alpha}=1\boldsymbol{\alpha}v)\left({k+l}\right)\boldsymbol{\alpha}=k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\alpha}vi)k\left({\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}}\right)=k\boldsymbol{\alpha}+k\boldsymbol{\beta}现在我们还有两个条件没有得到vii) U 中有没有零元？viii) \forall \boldsymbol{\gamma} \in U , -\boldsymbol{\gamma} 是否也属于 U ？事实上根据条件 2) 和已经证明的我们有可以证明\mathbf{proof}\forall \boldsymbol{\gamma} \in U,k \in K ， k \boldsymbol{\gamma} \in U这里我们取 k=-1 , 0可以得到 \forall\boldsymbol{\gamma} \in U, \quad -1\boldsymbol{\gamma}=-\boldsymbol{\gamma}\in U\forall\boldsymbol{\gamma} \in U, \quad 0\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{0}\in U\mathbf{Q.E.D}综上可知，集合 U 满足线性空间的8个条件故而 U 也是数域 K 上的一个线性空间又 U 为线性空间 V 的一个子集，因此我们称 U 为 V 的一个线性子空间简称为子空间

啊这，抱歉，我重新发一下

麻烦顺手给我一个赞吧

我没学线性子空间

看不懂，能用线性空间的定义帮我证明一下吗？

我尽量帮您查询一下

请稍等

你好，已帮您查到以下信息

★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。1．线性空间的定义：设是一个非空集合，其元素用等表示；是一个数域，其元素用等表示。如果满足[如下8条性质，分两类]:（）在中定义一个“加法”运算，即当时，有唯一的和（封闭性），且加法运算满足下列性质:（1）结合律；（2）交换律；（3）零元律存在零元素，使；（4）负元律对于任一元素，存在一元素，使，且称为的负元素，记为。则有。（）在中定义一个“数乘”运算，即当时，有唯一的（封闭性），且数乘运算满足下列性质:（5）数因子分配律；（6）分配律；（7）结合律；（8）恒等律；则称为数域上的线性空间。注意以下几点：1）线性空间是基于一定数域来的。同一个集合，对于不同数域，就可能构成不同的线性空间，甚至对有的数域能构成线性空间，而对其他数域不能构成线性空间。2）两种运算、八条性质。数域中的运算是具体的四则运算，而中所定义的加法运算和数乘运算则是抽象的、形式的。3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性是否满足。当数域为实数域时，就称为实线性空间；为复数域，就称为复线性空间。例1．设{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为, 证明：是实数域上的线性空间。[证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性

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