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摘要习题 1− 1 1. 设A (−∞, −5)∪(5, +∞), B [− 10, 3), 写出A ∪B, A ∩B, A\B 及 A\(A\B) 的表达式. 解 A ∪B (−∞, 3)∪(5, +∞), A ∩B [− 10, −5), A\B (−∞, − 10)∪(5, +∞), A\(A\B) [− 10, −5). C C C 2. 设A 、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A ∩B) A ∪B . 证明因为 C C C C C x ∈(A ∩B) ⇔x ∉A ∩B⇔ x ∉A 或x ∉B⇔ x ∈A 或x ∈B ⇔ x ∈A ∪B , C C C

所以 (A ∩B) A ∪B . 3. 设映射f : X →Y, A⊂X , B⊂X . 证明 (1)f (A ∪B) f (A)∪f (B); (2)f (A ∩B)⊂f (A)∩f (B). 证明因为 y ∈f (A ∪B)⇔∃x ∈A ∪B, 使f (x) y ⇔(因为x ∈A 或x ∈B) y ∈f (A)或y ∈f (B) ⇔ y ∈ f(A)∪f (B),

所以 f (A ∪B) f (A)∪f (B). (2) 因为 y ∈f (A ∩B)⇒ ∃x ∈A ∩B, 使f (x) y ⇔(因为x ∈A 且 x ∈B) y ∈f (A)且y ∈f (B)⇒ y ∈ f(A)∩f (B),

所以 f (A ∩B)⊂f (A)∩f (B). 4. 设映射f : X →Y, 若存在一个映射g : Y→X , 使 , , 其中I 、I 分别是X 、 g f I f Xg I Y X Y

Y上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I x x ; 对于每一个y ∈Y, 有I y y . 证明:f 是双射, 且g X Y

是f 的逆映射: g f − 1. 证明因为对于任意的y ∈Y, 有x g(y ) ∈X ,

咨询记录 · 回答于2021-12-08

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习题 1− 1 1. 设A (−∞, −5)∪(5, +∞), B [− 10, 3), 写出A ∪B, A ∩B, A\B 及 A\(A\B) 的表达式. 解 A ∪B (−∞, 3)∪(5, +∞), A ∩B [− 10, −5), A\B (−∞, − 10)∪(5, +∞), A\(A\B) [− 10, −5). C C C 2. 设A 、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A ∩B) A ∪B . 证明因为 C C C C C x ∈(A ∩B) ⇔x ∉A ∩B⇔ x ∉A 或x ∉B⇔ x ∈A 或x ∈B ⇔ x ∈A ∪B , C C C所以 (A ∩B) A ∪B . 3. 设映射f : X →Y, A⊂X , B⊂X . 证明 (1)f (A ∪B) f (A)∪f (B); (2)f (A ∩B)⊂f (A)∩f (B). 证明因为 y ∈f (A ∪B)⇔∃x ∈A ∪B, 使f (x) y ⇔(因为x ∈A 或x ∈B) y ∈f (A)或y ∈f (B) ⇔ y ∈ f(A)∪f (B),所以 f (A ∪B) f (A)∪f (B). (2) 因为 y ∈f (A ∩B)⇒ ∃x ∈A ∩B, 使f (x) y ⇔(因为x ∈A 且 x ∈B) y ∈f (A)且y ∈f (B)⇒ y ∈ f(A)∩f (B),所以 f (A ∩B)⊂f (A)∩f (B). 4. 设映射f : X →Y, 若存在一个映射g : Y→X , 使 , , 其中I 、I 分别是X 、 g f I f Xg I Y X YY上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I x x ; 对于每一个y ∈Y, 有I y y . 证明:f 是双射, 且g X Y是f 的逆映射: g f − 1. 证明因为对于任意的y ∈Y, 有x g(y ) ∈X ,

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第五版下册的教材和答案有吗，，1010265208@qq.com

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