x(x+y)y'=y(x-y)求通解
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您好亲爱的同学，
dy/dx=(x-y)/(x+y)，
dy/dx=[1-(y/x)]/[1+(y/x)].
设y/x=u，即y=xu，求微分为dy=udx+xdu,
有：dy/dx=u+xdu/dx，代入微分方程有：
u+xdu/dx=(1-u)/(1+u)
xdu/dx=(1-u)/(1+u)-u,
微分方程右边通分得到：
xdu/dx=[(1-u)-u(1-u)]/(1+u)，
xdu/dx=-(u^2+2u-1)/(1+u)，
(u+1)du/(u^2+2u-1)=-dx/x
两边同时取积分得：
∫(u+1)du/(du^2+2u-1)=-∫dx/x，
(1/2)∫(2du+2)du/(du^2+2u-1)=-∫dx/x，
(1/2)∫d(u^2+2u-1)/(du^2+2u-1)=-ln|x|，
(1/2)ln|u^2+2u-1|+ln|x|=c1
咨询记录 · 回答于2022-03-13
x(x+y)y'=y(x-y)求通解
您好亲爱的同学，dy/dx=(x-y)/(x+y)，dy/dx=[1-(y/x)]/[1+(y/x)].设y/x=u，即y=xu，求微分为dy=udx+xdu,有：dy/dx=u+xdu/dx，代入微分方程有：u+xdu/dx=(1-u)/(1+u)xdu/dx=(1-u)/(1+u)-u,微分方程右边通分得到：xdu/dx=[(1-u)-u(1-u)]/(1+u)，xdu/dx=-(u^2+2u-1)/(1+u)，(u+1)du/(u^2+2u-1)=-dx/x两边同时取积分得：∫(u+1)du/(du^2+2u-1)=-∫dx/x，(1/2)∫(2du+2)du/(du^2+2u-1)=-∫dx/x，(1/2)∫d(u^2+2u-1)/(du^2+2u-1)=-ln|x|，(1/2)ln|u^2+2u-1|+ln|x|=c1
左式还有一个x 右式还有一个y呢？？
您好亲爱的同学，求导它们变成系数一了呀
没明白怎么变得
亲亲，老师这样给你讲吧
x的导数是不是我1呀
嗯嗯
隐函数的求导，同学
方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。举个例子，若欲求z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。
老师 原式左右两边分别求导 您给列一下呗
您好亲爱的同学，dy/dx=(x-y)/(x+y)，dy/dx=[1-(y/x)]/[1+(y/x)].设y/x=u，即y=xu，求微分为dy=udx+xdu,有：dy/dx=u+xdu/dx，代入微分方程有：u+xdu/dx=(1-u)/(1+u)xdu/dx=(1-u)/(1+u)-u,微分方程右边通分得到：xdu/dx=[(1-u)-u(1-u)]/(1+u)，xdu/dx=-(u^2+2u-1)/(1+u)，(u+1)du/(u^2+2u-1)=-dx/x两边同时取积分得：∫(u+1)du/(du^2+2u-1)=-∫dx/x，(1/2)∫(2du+2)du/(du^2+2u-1)=-∫dx/x，(1/2)∫d(u^2+2u-1)/(du^2+2u-1)=-ln|x|，(1/2)ln|u^2+2u-1|+ln|x|=c1
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