Question

如图.Ⅰ，Nⅰ为三角形ABC的内心，九点圆圆心，D，E，F为I在三角形ABC三边上的射影，P、Q、R为三角形三边中点，CⅠ，BⅠ分别交AB，AC于M，N，过D作DS丄EF交EF于S，CS、BS分别交AB，AC于T、W，U、V分别为C、B在AB，AC上的射影，H1，H2，H3，H4分别为三角形ATW，三角形AEF，三角形ABC，三角形BⅠC的垂心。求证:(1)圆I与圆Ni相切(记切点为Fe)。(2)Tw与圆Ⅰ相切。(3)PQ，FeD，EF三线共点。(4)H1，H2，H3，H4，S五点共线。(5)记FeP，FeQ分别交圆I于K，L，则FeR，KL，MN，EF，UV五线共点。

Answer 1

问：如图.Ⅰ，Nⅰ为三角形ABC的内心，九点圆圆心，D，E，F为I在三角形ABC三边上的射影，P、Q、R为三角形三边中点，CⅠ，BⅠ分别交AB，AC于M，N，过D作DS丄EF交EF于S，CS、BS分别交AB，AC于T、W，U、V分别为C、B在AB，AC上的射影，H1，H2，H3，H4分别为三角形ATW，三角形AEF，三角形ABC，三角形BⅠC的垂心。求证:(1)圆I与圆Ni相切(记切点为Fe)。(2)Tw与圆Ⅰ相切。(3)PQ，FeD，EF三线共点。(4)H1，H2，H3，H4，S五点共线。(5)记FeP，FeQ分别交圆I于K，L，则FeR，KL，MN，EF，UV五线共点。

答：1、由于Nⅰ是三角形ABC的内心，所以三角形ABC的三边都经过Nⅰ，所以Nⅰ与圆I相切。2，由于Tw是三角形ABC的外心，所以三角形ABC的三边都经过Tw，所以Tw与圆I相切。3、由于Fe是圆I与圆Nⅰ的交点，而圆Nⅰ是三角形ABC的内心，所以Fe在三角形ABC的三边上，所以Fe是三角形ABC的三边中点P, Q, R的射影，所以FeD, FeP, FeQ三线共点。4、由于S是CS, BS两线的交点，而CS, BS分别是三角形ABC的三边上的垂足，所以S是三角形ABC的垂心。5、由于Fe是圆I与圆Nⅰ的交点，而圆Nⅰ是三角形ABC的内心，所以Fe在三角形ABC的三边上，所以Fe是三角形ABC的三边上的中点M, N的射影。FeP, FeQ分别交圆I于K，L，而KL是三角形ABC的中垂线，所以FeR, KL, MN, EF, UV五线共点。

问：谢谢老师

问：谢谢老师

问：还有其它解法吗老师？

答：可以使用向量的思想来证明这些结论，如下：1.圆I与圆Ni相切(记切点为Fe)。证明：由于Nⅰ是三角形ABC的内心，所以Nⅰ到三角形ABC的三个顶点的距离都相等。设三角形ABC的三个顶点为A,B,C，则有：NI - A = NI - B = NI - C由此可知，三线NI - A,NI - B,NI - C都是圆I的切线，则圆I与圆Ni相切。2.Tw与圆Ⅰ相切。证明：由于Tw是三角形ABC的外心，所以Tw到三角形ABC的三个顶点的距离之和相等，设三角形ABC的三个顶点为A,B,C，则有：TW - A + TW - B + TW - C = 0由此可知，三线TW - A,TW - B,TW - C都是圆I的切线，则圆I与Tw相切。PQ，FeD，EF三线共点。证明：由于Fe是圆I与圆Ni的交点，所以Fe到三角形ABC的三个顶点的距离之和相等，设三角形ABC的三个顶点为A,B,C，则有：Fe - A + Fe - B + Fe - C = 0由此可知，Fe是三角形ABC的三边中点P, Q, R的射影，所以PQ, FeD, EF三线共点。

答：4.H1，H2，H3，H4，S五点共线。证明：由于H1是三角形ATW的垂心，H2是三角形AEF的垂心，H3是三角形ABC的垂心，H4是三角形BⅠC的垂心，而S是CS, BS两线的交点。由于CS, BS分别是三角形ABC的三边上的垂足，所以S是三角形ABC的垂心。所以H1, H2, H3, H4, S五点共线。FeP，FeQ分别交圆I于K，L，FeR，KL，MN，EF，UV五线共点。证明：由于Fe是圆I与圆Ni的交点，所以Fe是三角形ABC的三边上的中点M, N的射影。FeP, FeQ分别交圆I于K，L，而KL是三角形ABC的中垂线，所以FeR, KL, MN, EF, UV五线共点。这是用向量思想证明上述结论的另一种方法，与上面的证明方法类似。

答：证明:⊙1与 ⊙Ni相切。由于Ni是三角形ABC的内心，所以三角形ABC的三边都经过Ni，因此Ni在三角形ABC的内部。而⊙I是由三角形ABC的三个顶点构成的，所以⊙I也在三角形ABC的内部。因此⊙I与⊙Ni相切。TW与⊙I相切。由于TW是三角形ABC的外心，所以三角形ABC的三边都经过TW。而⊙I是由三角形ABC的三个顶点构成的，所以⊙I也经过三角形ABC的三个顶点。因此⊙I与TW相切。PQ.FeD,EF 三点共线。由于Fe是⊙I与⊙Ni的交点，所以Fe在三角形ABC的三边上。而P, Q, R是三角形ABC的三边中点，所以Fe是P, Q, R的射影。因此PQ, FeD, EF三点共线。H₁,H₂, H₃,H₄,S 五点共线。由于H₁是三角形ATW的垂心，H₂是三角形AEF的垂心，H₃是三角形ABC的垂心，H₄是三角形BⅠC的垂心，而S是CS, BS两线的交点。由于CS, BS分别是三角形ABC的三边上的垂足，所以S是三角形ABC的垂心。所以H₁,H₂, H₃,H₄,S 五点共线。

答：5.FeP，FeQ分别交⊙I与K,L, 则FeR,KL,MN,EF,UV五点共线由于Fe是⊙I与⊙Ni的交点，所以Fe在三角形ABC的三边上。FeP, FeQ分别交⊙I与K,L, 由于KL是三角形ABC的中垂线，MN是三角形ABC的中线，EF是三角形ABC的边，UV是三角形ABC的边上的垂足，所以FeR,KL,MN,EF,UV五点共线。