在曲面(x+y)^2=z^2-9上求一点,使该坐标原点的距离最短
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亲，你好
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为你找寻的答案如下：
首先，我们可以将曲面 (x+y)^2=z^2-9 展开，得到 x^2 + 2xy + y^2 = z^2 - 9。因此，该曲面可以看作是二次曲面 x^2 + 2xy + y^2 - (z^2 - 9) = 0。
假设有一点 P (x0, y0, z0)，要使得该点到坐标原点的距离最短，可以应用最短距离定理，该点到坐标原点的距离为 √(x0^2 + y0^2 + z0^2)。
因此，我们可以构造最小化问题：minimize √(x0^2 + y0^2 + z0^2) subject to x0^2 + 2xy0 + y0^2 = z0^2 - 9。
通过拉格朗日乘子法求解，可以得到以下方程组：
1. 2x0 + 2y0λ = 0
2. 2y0 + 2x0λ = 0
3. 2z0 - 2λ = 0
由第一二个式子可得 x0 = -y0λ，代入第三个式子可得 z0 = λ，进而可得 y0 = -x0λ。将 x0 和 y0 代入约束条件得：x0^2 - 2x0^2λ^2 + x0^2λ^2 - 9 = λ^2。
进而可以化简得：x0^2 + 2x0^2(λ^2 - 1/2) = 9/(2λ^2 - 1)。这是一个二次函数，可以求得顶点坐标。由于题目要求使得原点到该点距离最短，因此该点应该在顶点处。解出顶点坐标后再带入原式即可得到该点。
咨询记录 · 回答于2024-01-07
在曲面(x+y)^2=z^2-9上求一点,使该坐标原点的距离最短
亲，你好！为您找寻的答案：首先，我们可以将曲面(x+y)^2=z^2-9展开，得到 x^2 + 2xy + y^2 = z^2 - 9。因此，该曲面可以看作是二次曲面 x^2 + 2xy + y^2 - (z^2 - 9) = 0。假设有一点 P (x0, y0, z0)，要使得该坐标原点的距离最短，可以应用最短距离定理，该点到坐标原点的距离为 √(x0^2 + y0^2 + z0^2)。因此，我们可以构造最小化问题：minimize √(x0^2 + y0^2 + z0^2)subject tox0^2 + 2xy0 + y0^2 = z0^2 - 9通过拉格朗日乘子法求解，可以得到以下方程组：2x0 + 2y0λ = 02y0 + 2x0λ = 02z0 - 2λ = 0由第一二个式子可得 x0 = -y0λ，代入第三个式子可得 z0 = λ，进而可得 y0 = -x0λ。将 x0 和 y0 代入约束条件得：x0^2 - 2x0^2λ^2 + x0^2λ^2 - 9 = λ^2进而可以化简得：x0^2 + 2x0^2(λ^2 - 1/2) = 9/(2λ^2 - 1)这是一个二次函数，可以求得顶点坐标。由于题目要求使得原点到该点距离最短，因此该点应该在顶点处。解出顶点坐标后再带入原式即可得到该点。
！为您找寻的答案：首先，我们可以将曲面(x+y)^2=z^2-9展开，得到 x^2 + 2xy + y^2 = z^2 - 9。因此，该曲面可以看作是二次曲面 x^2 + 2xy + y^2 - (z^2 - 9) = 0。假设有一点 P (x0, y0, z0)，要使得该坐标原点的距离最短，可以应用最短距离定理，该点到坐标原点的距离为 √(x0^2 + y0^2 + z0^2)。因此，我们可以构造最小化问题：minimize √(x0^2 + y0^2 + z0^2)subject tox0^2 + 2xy0 + y0^2 = z0^2 - 9通过拉格朗日乘子法求解，可以得到以下方程组：2x0 + 2y0λ = 02y0 + 2x0λ = 02z0 - 2λ = 0由第一二个式子可得 x0 = -y0λ，代入第三个式子可得 z0 = λ，进而可得 y0 = -x0λ。将 x0 和 y0 代入约束条件得：x0^2 - 2x0^2λ^2 + x0^2λ^2 - 9 = λ^2进而可以化简得：x0^2 + 2x0^2(λ^2 - 1/2) = 9/(2λ^2 - 1)这是一个二次函数，可以求得顶点坐标。由于题目要求使得原点到该点距离最短，因此该点应该在顶点处。解出顶点坐标后再带入原式即可得到该点。
答案是什么
亲，你好！为您找寻的答案：该坐标原点的距离最短，最短距离为3。
！为您找寻的答案：该坐标原点的距离最短，最短距离为3。
亲，你好！
为您找寻的答案：
我们可以使用求解距离最短的一点的方法，即通过对坐标点(x, y, z)到原点(0, 0, 0)距离公式的最小化，得到(x, y, z)的值。
首先，将曲面的方程重写为：(x + y)^2 + 9 = z^2。
设(x, y, z)为点P，代入到距离公式中：
d = √[x^2 + y^2 + z^2]
= √[x^2 + y^2 + (x + y)^2 + 9]
= √[2x^2 + 2y^2 + 2xy + 9]
因为只需要考虑距离的平方最小化，可以通过对d^2求最小值来解决。
d^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2xy + 9
对d^2关于x求导得：d^2x' = 4x + 2y
对d^2关于y求导得：d^2y' = 2x + 4y
令它们等于0，得到：4x + 2y = 0，x + 2y = 0
2x + 4y = 0，x + 2y = 0
因此，x = -2y。将其代回到公式d^2中，得到：d^2 = 6y^2 + 9
因为y可以为任意实数，所以最小值是当y=0时，此时x=0，z=3，所以答案是点(0, 0, 3)。该点到原点的距离是3，是最短距离。
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为您找寻的答案：
我们可以使用求解距离最短的一点的方法，即通过对坐标点(x, y, z)到原点(0, 0, 0)距离公式的最小化，得到(x, y, z)的值。
首先，将曲面的方程重写为：(x + y)^2 + 9 = z^2。
设(x, y, z)为点P，代入到距离公式中：
d = √[x^2 + y^2 + z^2]
= √[x^2 + y^2 + (x + y)^2 + 9]
= √[2x^2 + 2y^2 + 2xy + 9]
因为只需要考虑距离的平方最小化，可以通过对d^2求最小值来解决。
d^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2xy + 9
对d^2关于x求导得：d^2x' = 4x + 2y
对d^2关于y求导得：d^2y' = 2x + 4y
令它们等于0，得到：4x + 2y = 0，x + 2y = 0
2x + 4y = 0，x + 2y = 0
因此，x = -2y。将其代回到公式d^2中，得到：d^2 = 6y^2 + 9
因为y可以为任意实数，所以最小值是当y=0时，此时x=0，z=3，所以答案是点(0, 0, 3)。该点到原点的距离是3，是最短距离。
亲，你好！为您找寻的答案：所以最小值是当y=0时，此时x=0，z=3，所以答案是点(0, 0, 3)。该点到原点的距离是3，是最短距离。
！为您找寻的答案：所以最小值是当y=0时，此时x=0，z=3，所以答案是点(0, 0, 3)。该点到原点的距离是3，是最短距离。
同学~咱们这边电脑阅题，图片没办法放大~暂时解答不了图片呢~有什么可以转成文字给我呢~
怎么了呢亲~需要我回答什么呢~
计算二重积分∬y^2/x^2dxdy，其中D是由y=x，y=2，y=1/x 所围成的区域
亲，你好！
为您找寻的答案：
观察到积分区域D是由三条直线所围成的，因此我们可以采用先对y进行积分，然后再对x进行积分的方法来计算二重积分。
对于D区域内的y的取值范围，可以看到y的取值范围由y=x和y=2所确定，即x≤y≤2。
因此，对于给定的积分函数f(x,y)=y^2/x^2，可以写出其在D区域内的二重积分式如下：
∫D y^2/x^2 dxdy = ∫x=1² ∫y=x² y2/x2 dydx
先对y进行积分，得到：
∫y=x² y2/x2 dy = y3/(3x2)|y=x²= 1/3 - x/3
将积分结果代入原式，得：
∫D y^2/x^2 dxdy = ∫x=1² (1/3 - x/3) dx
= [(1/3)x - (1/6)x2]|x=1²= 1/2
因此，原二重积分的计算结果为1/2。
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为您找寻的答案：
观察到积分区域D是由三条直线所围成的，因此我们可以采用先对y进行积分，然后再对x进行积分的方法来计算二重积分。
对于D区域内的y的取值范围，可以看到y的取值范围由y=x和y=2所确定，即x≤y≤2。
因此，对于给定的积分函数f(x,y)=y^2/x^2，可以写出其在D区域内的二重积分式如下：
∫D y^2/x^2 dxdy = ∫x=1² ∫y=x² y2/x2 dydx
先对y进行积分，得到：
∫y=x² y2/x2 dy = y3/(3x2)|y=x²= 1/3 - x/3
将积分结果代入原式，得：
∫D y^2/x^2 dxdy = ∫x=1² (1/3 - x/3) dx
= [(1/3)x - (1/6)x2]|x=1²= 1/2
因此，原二重积分的计算结果为1/2。
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