Question

在三角形ABC中 若两倍的角B等于角A+角C且b的长度等于根号三，三角形ABC的面积等于四分之三倍根号三，求a和c的长度

Answer 1

问：在三角形ABC中 若两倍的角B等于角A+角C且b的长度等于根号三慎型，三角形ABC的面积等于四分之三倍根号三，碰枯求a和c的长笑孝洞度

答：你好，解题历陆过程如下：在三角形ABC中，已知：- 两倍的角B等于角A+角C- b的长度等于根号三- 三角形ABC的面积等于四分之三倍根号三让孝求解：设角B的度数为x，则角A的度数为2x-角C的肢滑顷度数为180-3x。由正弦定理可得：a/sinA=b/sinB=c/sinC。带入已知条件可得：a/sin(2x-180+3x) = 根号三/sin(x)a/sin5x = 根号三/sin(x)a=根号三*sin5x/sin(x)又由海伦公式可得：s = (a+b+c)/2三角形的面积S = 根号(s(s-a)(s-b)(s-c))带入已知条件可得：四分之三倍根号三 = 根号((a+b+c)/2*((a+b+c)/2-a)*((a+b+c)/2-b)*((a+b+c)/2-c))化简可得：4*3^(1/2)/3 = (a+b+c)/4 * 3^(1/2)/4a+b+c = 16/3代入已知条件，结合正弦定理和三角函数的性质，可得a和c的长度分别为：a = 2/3*根号三c = 2/3*根号三因此，a和c的长度分别为2/3*根号三。

问：谢谢

问：有没有更好理解的方法

问：有没有跟简单的方法

问：海伦公式没学过

答：你好，在三角形ABC中胡余，已知两倍的角B等于角A+角C，且b的长度等稿做卜于 sqrt{3}，三角形ABC的面积等于 frac{3}{4} \sqrt{3}。要求解a和c的长度，可键穗以利用正弦定理和面积公式。根据正弦定理：frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}将已知的信息代入，得到：$$\frac{a}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{\sin \frac{A+C}{2}}=\frac{c}{\sin C}又因为 \sin \frac{A+C}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos(A+C)}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos B}{2}}=\sqrt{\frac{\sin^2B}{2}}=\frac{\sin B}{\sqrt{2}}，代入上式得到：\frac{a}{\sin A}=\frac{2\sqrt{3}}{\sin B}=2\sqrt{6}因此，a=2\sqrt{6}\sin A同理可得，c=2\sqrt{6}\sin C根据三角形面积公式：S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B将已知的面积和b的长度代入，得到：\frac{3}{4} \sqrt{3}=\frac{1}{2}a\sqrt{3}\sin C=\frac{1}{2}c\sqrt{3}\sin A代入 a=2\sqrt{6}\sin A 和 c=2\sqrt{6}\sin C，化简得到：\sin A\sin C=\frac{1}{12}因此，\cos (A-C)-\cos (A+C)=\frac{1}{6}由于已知 2\cos B=\cos (A+C)，带入得到：\cos (A-C)-2\cos B=\frac{1}{6}又因为 2\cos B=1+\cos A+\cos C，代入得到：cos (A-C)-1-\cos A-\cos C=\frac{1}{6}

答：移项得到：\cos A+\cos C+\cos (A-C)=\frac{5}{6}由于唯高 \cos (A-C)=\cos A\cos C+\sin A\sin C，代入得到扰衫：2\cos A\cos C+\cos A+\cos C=\frac{5}{6}又因为 \cos^2A+\cos^2C+2\cos A\cos C=1，整理得到：(\cos A+\cos C)^2-\sin^2A-\sin^2C=\frac{1}{3}由于 sin^2A+\sin^2C=1-\cos^2A-\cos^2C，代入得到：(\cos A+\cos C)^2-(1-\cos^2A-\cos^2C)=\frac{1}{3}化简得到：\cos^2A+\cos^2C+\cos A\cos C-\frac{2}{3}\cos A-\frac{2}{3}\cos C+\frac{1}{3}=0将 cos A 和 cos C 看做未知数，代入解方程，得到：\cos A=\frac{3\sqrt{3}-5}{4},\cos C=\frac{3\sqrt{3}-5}{4}因此，a=2\sqrt{6}\sin A=\sqrt{6}(3-\sqrt{3}),c=2\sqrt{6}\sin C=\sqrt{6}(3-\sqrt{3})因此，a=c=\sqrt{6}(3-\sqrt{3})。因此，三角形ABC中，a和c的长度缓山腔均为 \sqrt{6}(3-\sqrt{3})。