Question

隐函数存在定理

Answer 1

隐函数存在定理主要讲述如何从二元函数F（x，y）的性质来判定由F（x，y）=0所确定的隐函数y=f（x）是存在的，并且，这个函数还具有某些特性。

隐函数必须在指出它的方程以及x，y的取值范围后才有意义。当然，在不产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明，此外，并不是任一方程都能确定出隐函数。


隐函数相对于显函数，都构成了一种特殊的映射关系，但是，实际上，显函数是比较少的，即：因变量能用自变量的某一种或某几种对应关系单独表示的函数是非常少的，大部分都是，因变量和自变量共同构成一种等式。

如果不限定函数连续，则式中正负号可以随x而变，因而有无穷个解；如果限定连续，则只有两个解（一个恒取正号，一个恒取负号）。

如果限定可微，则要排除x=±1，因而函数的定义域应是开区间（-1<x<1），但仍然有两个解。

如果还限定在适合原方程的一个点（x，y）=（x0，y0）的邻近范围内，则只有一个唯一的解（当起点（x0，y0）在上半平面时取正号，在下半平面时取负号）。

相对显函数

对于一个函数，如果已知自变量取某一值时，可以不必通过解方程即能求得因变量的对应值，这样的函数叫做显函数。或者说若y是x的函数，当直接给出y等于一个只含自变量和中间变量的解析式子时，此时y叫做自变量x的显函数。

如果方程f（x，y）=0能确定y与x的对应关系，那么称这种表示方法表示的函数为隐函数。隐函数不一定能写为y=f（x）的形式，如x2+y2=0。