Question

为什么曲线积分是一重积分

Answer 1

问：为什么曲线积分是一重积分

答：曲线积分可以将一条曲线上的函数值沿着该曲线进行积分计算。在二维平面或三维空间中，曲线的参数方程假定为$(x(t),y(t)),(x(t),y(t),z(t))$，同时$t$的范围为$[a,b]$。曲线上的一个段落$d\boldsymbol{l}=(dx,dy)$或$d\boldsymbol{l}=(dx,dy,dz)$，可以看成是$\boldsymbol{r}=(x(t),y(t))$或$\boldsymbol{r}=(x(t),y(t),z(t))$在$t$方向上的增量$d\boldsymbol{r}=(dx,dy)$或$d\boldsymbol{r}=(dx,dy,dz)$。于是，利用微分的思想，将曲线分解成若干个极小的小段，每一段中对应着小的微向量$d\boldsymbol{l}$，对函数进行积分。因此，曲线积分可以视为一种参数关于$t$的函数积分，因而是一重积分。

问：我还是有些不太明白，回答能否再详细些？

答：曲线积分可以将一条曲线上的函数值沿着该曲线进行积分计算。在二维平面或三维空间中，曲线的参数方程假定为$(x(t),y(t)),(x(t),y(t),z(t))$，同时$t$的范围为$[a,b]$。曲线上的一个段落$d\boldsymbol{l}=(dx,dy)$或$d\boldsymbol{l}=(dx,dy,dz)$，可以看成是$\boldsymbol{r}=(x(t),y(t))$或$\boldsymbol{r}=(x(t),y(t),z(t))$在$t$方向上的增量$d\boldsymbol{r}=(dx,dy)$或$d\boldsymbol{r}=(dx,dy,dz)$。于是，利用微分的思想，将曲线分解成若干个极小的小段，每一段中对应着小的微向量$d\boldsymbol{l}$，对函数进行积分。因此，曲线积分可以视为一种参数关于$t$的函数积分，因而是一重积分。