Question

已知三棱锥S-ABC,SA垂直于底面,AB=AC=BC=6,则三棱锥S—ABC外接球体积

Answer 1

问：已知三棱锥S-ABC,SA垂直于底面,AB=AC=BC=6,则三棱锥S—ABC外接球体积

答：你好，根据题意，可以得到以下信息：底面三角形ABC为等边三角形，AB=AC=BC=6；SA垂直于底面ABC；需要求出外接球体积。首先，我们可以通过勾股定理求得SA的长度。由于底面为等边三角形，所以连接SA与底面重心O，可以得到SO的长度为3√3，因此SA的长度为6-3√3。接着，可以求出三棱锥的高H。由于SA垂直于底面ABC，所以H为SO和SA的夹角对应的斜边长度。通过余弦定理可以计算得到H的长度为6√2/3。进一步，可以求出外接球的半径R。连接三棱锥的顶点S与底面重心O，可以得到OS的长度为6√2/3+2√3。由于三棱锥的底面为正三角形，所以底面重心O到三角形各顶点的距离相等，为2√3/3。因此，OS的长度为6√2/3+2√3，可以求得R的长度为（6√2/3+2√3）/3。最后，可以利用公式计算出外接球体积V。由于三棱锥的底面为正三角形，所以外接球的体积为4πR^3/3，代入R的值即可得到答案

答：扩展补充：1. 对于任意底面为正多边形、顶点在同一平面内、棱长相等的三棱锥，其外接球体积公式为V=(n^2+4n+1)πa^3/12(n+1)^2，其中n为多边形的边数，a为底面边长。2. 外接球半径R也可以通过勾股定理和中心角公式求解。具体而言，连接三棱锥的顶点S与底面重心O，并连接底面各顶点与重心O，可以得到6个等腰三角形。由于底面为正三角形，所以每个等腰三角形的中心角为120度。因此，OS与任意一个底面顶点连线的夹角为60度，可以利用勾股定理求得OS的长度，再利用中心角公式计算出外接球半径R。3. 除了外接球体积，还可以求解三棱锥的内切球半径、表面积和体积等物理量