Question

已知(x+兀) 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等,求这两项

Answer 1

问：已知(x+兀) 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等,求这两项

答：展开式为：$$(x+兀)^n=\sum\limits_{i=0}^n C_n^ix^{n-i}兀^i$$其中二项式系数 $C_n^i$ 定义为 $C_n^i=\frac{n!}{i!(n-i)!}$。设 $n$ 为一个大于等于 $5$ 的整数，则展开式的第 $3$ 项和第 $5$ 项分别为：$$C_n^2x^{n-2}兀^2$$$$C_n^4x^{n-4}兀^4$$要求这两项二项式系数相等，即有：\begin{align}C_n^2 &= C_n^4 \\\frac{n!}{2!(n-2)!} &= \frac{n!}{4!(n-4)!}\\\frac{(n-3)(n-2)}{2 \times 1} &= \frac{(n-3)(n-2)(n-1)n}{4 \times 3 \times 2 \times 1}\\4(n-3)(n-2) &= 2(n-3)(n-2)(n-1)n\\2 &= n-1\\n &= 3\end{align}由于 $n$ 需要大于等于 $5$，所以不存在满足条件的整数 $n$，因此无法计算这两项。