Question

计算二重积分∫∫xydxdy,其中D由y=1/x,y=x,x=2所围成的区域,

Answer 1

问：计算二重积分∫∫xydxdy,其中D由y=1/x,y=x,x=2所围成的区域,

答：亲亲，我们要确定积分的次序。由于积分区域D是由三条直线围成的，于是可以考虑先对x进行积分，再对y进行积分，即∫∫xydxdy = ∫[1,2]∫[x,1/x]xydydx。对于内层积分∫xydy，将x看作常数，可得∫xydy = 1/2*y^2*x，在y=x和y=1/x之间积分，得到∫[x,1/x]xydy = (1/2)*(1/x^2 - x^2)*x。代入外层积分可得∫∫xydxdy = ∫[1,2](1/2)*(1/x^2 - x^2)*xdx = 1/8。于是，二重积分∫∫xydxdy在D由y=1/x,y=x,x=2所围成的区域中的值为1/8哦~

答：1. 对于一般的积分区域D，如何确定积分次序？当积分区域D是由直线围成的简单闭曲线时，一般可以通过画图来确定积分次序。具体而言，可以先画出积分区域D，并在图中标出积分限制条件，然后根据积分限制条件和被积函数的形式选择合适的积分次序。2. 如何确定内层积分和外层积分的积分限制？内层积分和外层积分的积分限制都要根据积分区域D来确定。内层积分的积分限制应该是与y有关的限制，而外层积分的积分限制应该是与x有关的限制。于是，在确定积分次序之后，可以通过观察积分区域D来确定内层积分和外层积分的积分限制哦~

问：可以用纸笔写一下解题过程吗

答：亲亲，电脑无法拍照哦~

问：好吧