Question

14.设A是正定实对称矩阵,证明 A^(-1) 也是正定实对称矩阵.

Answer 1

问：14.设A是正定实对称矩阵,证明 A^(-1) 也是正定实对称矩阵.

答：你好，是的，A是正定实对称矩阵，那样证明A^(-1)也是正定实对称矩阵。证明如下：由于A是正定实对称矩阵，所以对于任意非零向量x，有x^T Ax > 0。现在我们要证明A^(-1)也是正定实对称矩阵，即对于任意非零向量y，有y^T A^(-1)y > 0。首先，我们知道A是正定实对称矩阵，所以A可以进行特征值分解，即存在一个正交矩阵Q和对角矩阵D，使得A = QDQ^T。其中，Q的列向量是A的特征向量，D的对角元素是A的特征值。将A的特征值记为λ_i，特征向量记为q_i，则有：Aq_i = λ_iq_i。由于A是正定实对称矩阵，其特征值必定大于0。现在我们来考虑A^(-1)的特征值。假设μ_i是A^(-1)的特征值，v_i是相应的特征向量，则有A^(-1)v_i = μ_iv_i。我们可以通过以下步骤推导出A^(-1)的特征值：A^(-1)v_i = μ_iv_iv_i = μ_iA v_iv_i = μ_iQDQ^T v_iv_i = μ_iQD(Q^Tv_i)由于Q是正交矩阵，所以有Q^Tv_i ≠ 0。于是，上式可以进一步化简为：μ_iQD(Q^Tv_i) = μ_iQD(λ_iv_i)μ_iQD(λ_iv_i) = μ_iQ(λ_iv_i)由于v_i ≠ 0，所以Q(λ_iv_i) ≠ 0。于是，我们可以得到：A^(-1)v_i = μ_iv_i从上述推导可以看出，A^(-1)的特征值是A的特征值的倒数，即μ_i = 1/λ_i。由于A的特征值都大于0，所以A^(-1)的特征值也都大于0。根据特征值的定义，我们知道A^(-1)是正定实对称矩阵。

答：亲亲 1. 正定实对称矩阵的定义：一个n×n的实对称矩阵A被称为正定的，要是对于任意非零向量x∈R^n，都有x^TAx>0。其中，x^T表示x的转置。2. 特征值分解：对于一个n×n的实对称矩阵A，存在一个正交矩阵Q和一个对角矩阵D，使得A=QDQ^T。其中，Q的列向量是A的特征向量，D的对角元素是A的特征值。3. 特征值和特征向量：对于一个n×n的矩阵A，要是存在非零向量v和标量λ，使得Av=λv，则称λ为A的特征值，v为相应的特征向量。4. 正交矩阵：一个n×n的实矩阵Q被称为正交矩阵，要是满足Q^TQ=I，即Q的转置乘以Q等于单位矩阵I。

问：答案在哪里

答：你好，是的，A是正定实对称矩阵，证明A^(-1)也是正定实对称矩阵。首先，我们知道正定实对称矩阵A满足以下条件：1. A是实矩阵，即所有的元素都是实数。2. A是对称矩阵，即A的转置等于它本身：A^T = A。3. 对于任意非零实向量x，都有x^T * A * x > 0，其中^T表示转置。现在我们来证明A^(-1)也满足上述条件，即A^(-1)是正定实对称矩阵。首先，根据矩阵的性质，我们知道(A^(-1))^T = (A^T)^(-1)。由于A是对称矩阵，所以A^T = A，代入上式得到(A^(-1))^T = A^(-1)。其次，我们需要证明对于任意非零实向量x，都有x^T * A^(-1) * x > 0。假设y = A^(-1) * x，那样x = A * y。将x代入原式得到：x^T * A^(-1) * x = (A * y)^T * A^(-1) * (A * y) = y^T * (A^T * A^(-1) * A) * y。因为A是正定实对称矩阵，所以A^T * A也是正定实对称矩阵。由于正定实对称矩阵的性质，我们知道(A^T * A)^(-1)也是正定实对称矩阵。于是，y^T * (A^T * A^(-1) * A) * y > 0，即x^T * A^(-1) * x > 0。综上所述，A^(-1)也是正定实对称矩阵。