Question

求微分方程y''-3y'+2y=e^2x(4x+cosx+5)的通解

Answer 1

问：求微分方程y''-3y'+2y=e^2x(4x+cosx+5)的通解

问：你好，可以帮我解一下这题嘛

答：亲亲，您好！微分方程y''-3y'+2y=e^2x(4x+cosx+5)的通解如下首先，我们需要求解对应的齐次微分方程：y''-3y'+2y=0齐次微分方程的特征方程为：r^2-3r+2=0可以通过求解这个二次方程找到其根为r₁=1，r₂=2。因此，齐次微分方程的通解为：y_h(x)=C₁e^x+C₂e^2x接下来，我们寻找非齐次微分方程的特解。由于非齐次部分是e^2x(4x+cosx+5)，我们可以猜测特解的形式为：y_p(x)=ae^2x+bx+c将上式代入原方程并整理，得到：4a+4(2a-b)+2(ae^2x+bx+c)-3(2ae^2x+b)+2(ae^2x+bx+c)=e^2x(4x+cosx+5)整理后，我们可以得到：(5a-3b+4c-3)e^2x+(4b+4c)e^x+(2a+2a-3b+2c-3)+4bx=e^2x(4x+cosx+5)我们可以对比方程两边的系数得到以下等式：5a-3b+4c-3=0(1)4b+4c=0(2)2a+2a-3b+2c-3=0(3)4b=4(4)由于方程（2）可以简化为2b+2c=0，将方程代入方程（3）和（4）可以得到：2a-3b+2c-3=0(5)4b=4(6)由于方程（6）可以解出b=1，代入方程（5）可得：2a-3(1)+2c-3=0化简得到：2a+2c=6解方程组得到a=0和c=3。因此，特解为：y_p(x)=e^2x+x+3将特解和齐次解相加得到非齐次微分方程的通解：y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C₁e^x+C₂e^2x+e^2x+x+3因此，微分方程的通解为：y(x)=C₁e^x+C₂e^2x+e^2x+x+3

问：最后的“x+3”是非指数吧

答：亲亲是的哦。