Question

系数矩阵的秩与解的关系

Answer 1

对于线性方程组Ax=b，其中a是系数矩阵，x是未知数向量，b是已知常数向量。
系数矩阵A的秩是指A的列向量线性无关的最大个数，用rank（A）表示。而线性方程组的解存在且唯一的充分必要条件是A的秩等于方程组未知数的个数，即rank（A）=n。
具体而言，如果rank（A）=n，即系数矩阵A的列向量线性无关的最大个数等于未知数的个数，那么这个线性方程组存在唯一解。
如果rank（A）<n，其中n为未知数的个数，那么这个线性方程组不存在唯一解。当b不在A的列向量张成的空间内时，方程组无解；当b在A的列向量张成的空间内时，方程组有无穷多解。
系数矩阵的秩和解的存在唯一性之间存在密切关系。如果系数矩阵A的秩等于未知数的个数，那么线性方程组存在唯一解；如果系数矩阵A的秩小于未知数的个数，那么线性方程组不存在唯一解。