Question

设方程x的z次方等于z的y次方确定隐函数z=z（x，y）求全微分dz

Answer 1

问：设方程x的z次方等于z的y次方确定隐函数z=z（x，y）求全微分dz

答：亲亲，非常荣幸为您解答如果函数z=f(x, y)在点(x, y)处可微分，则其全增量可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x, y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)²+(Δy)²])，此时称函数z=f(x, y)在点(x, y)处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx+BΔy。

答：相关拓展：根据题目所给条件，可以列出方程：x^z = z^y，由于要求隐函数 z = z(x, y)，需要对上式进行求导，得到全微分 dz：对 x 求偏导数，得： z * x^(z-1) = y * z^(y-1) * 1/z * dz/dx 化简可得： dz/dx = (z * x^z) / (y * z^y) * (y / x) 即： dz/dx = z * (x/z)^z * (y/x)^(-y)同理，对 y 求偏导数，得： z * ln(z) = x * (z/y)^(y-1) * 1/z * dz/dy 化简可得： dz/dy = z * ln(z) * (x / z^y)综上所述，全微分 dz 为： dz = [z * (x/z)^z * (y/x)^(-y)]dx + [z * ln(z) * (x / z^y)]dy