高中数学填空题
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★2009级二轮复习精品专题★
---填空题攻略200904
★方法总结与2009年高考预测
（一）方法总结
1. 能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。
2．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。
3. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.
（二）2009年高考预测
1. 继续出现创新能力题；
2．应用问题更用可能前移，在填空题中加大考查应用能力
★考点回顾
填空题就是不要求写出计算或推理过程，只需将结论直接写出的"求解题"，它的主要作用是考查考生的基础知识，基本技巧以及分析问题、解决问题的能力，高考试卷中25分．它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。
★数学填空题的特点
填空题缺少选择支的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上。但填空题既不用说明理由，又无须书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题。
填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型。填空题不需过程，不设中间分，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误。
填空题题小,跨度大,覆盖面广,形式灵活,可以有目的、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力.要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一此解题策略，尽量避开常规解法。
★数学填空题的类型
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：
一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等.由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现.
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等.近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.
★解数学填空题的原则
解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是"正确、合理、迅速".为此在解填空题时要做到：快--运算要快，力戒小题大作；稳--变形要稳，不可操之过急；全--答案要全，力避残缺不齐；活--解题要活，不要生搬硬套；细--审题要细，不能粗心大意.
填空题快速解答
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（一）数学填空题的解题方法
1、直接法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法.它是解填空题的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.
例1、设其中i，j为互相垂直的单位向量，又，则实数m = 。
解：∵，∴∴，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得∴。
例2、已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 。
解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴。
例3、现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。
解：由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为。
例4、在三棱柱ABC-A'B'C'中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB'C'F将三棱柱分成体积为V、V的两部分，那么V:V＝ 。
解：由题意分析，结论与三棱柱的具体形状无关，因此，可取一个特殊的直三棱柱，其底面积为4，高为1，则体积V＝4，而V＝（1＋＋4）=，V＝V－V＝，则V:V＝7:5。
例5、已知(1－2x)＝a＋ax＋ax＋...＋ax，那么a＋a＋...＋a＝ 。
解：令x＝1，则有（－1）＝a＋a＋a＋...＋a＝－1；令x＝0,则有a＝1。所以a＋a＋...＋a＝－1－1=－2。
例6、方程log(x＋1)＋log(x＋1)＝5的解是 。
解：由换底公式得4log(x＋1)＋log(x＋1)＝5，即log(x＋1)＝1,解得x＝3。
例7、已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0,π)，则ctgθ的值是 。
解：已知等式两边平方得sinθcosθ＝－，解方程组得sinθ＝，cosθ＝，故答案为：－。
【另解】设tg＝t，再利用万能公式求解。
例8、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）.
解：三名主力排有种，其余7名选2名安排在第二、四位置上有种排法，故共有排法数=252种.
例9、的展开式中的系数为 .
解：得展开式中的系数为=179.
例10、已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 .
解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，
∴，∴.
2、特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.
例11、已知（1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋...＋a7x7，那么a1＋a2＋...＋a7＝_____．
解：将已知与求解对照：
a0＋a1x＋a2x2＋...＋a7x7=（1－2x）7，
a1＋a2＋...＋a7＝？
可见取x＝0时，得a0＝1；再取x＝1以求值．有
a1＋a2＋...＋a7＝（1－2）7－a0＝－2．
说明：通过对未知变量x赋以特殊值0和1，十分简洁地求出了问题的答案，收到了事半功倍的效果．
例12、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则 。
解：特殊化：令，则△ABC为直角三角形，，从而所求值为。
例13、 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则 。
解：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。
设k = 0，因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线方程得，∴，从而。
例14、 求值 。
分析：题目中"求值"二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令，得结果为。已知(1－2x)＝a＋ax＋ax＋...＋ax，那么a＋a＋...＋a＝ 。
解：令x＝1，则有（－1）＝a＋a＋a＋...＋a＝－1；令x＝0,则有a＝1。所以a＋a＋...＋a＝－1－1=－2。
例15、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则
解法一：取特殊值a＝3, b＝4, c＝5 ,则cosA＝cosC＝0, .
解法二：取特殊角A＝B＝C＝600 cosA＝cosC＝,.
例16、如果函数对任意实数都有，那么的大小关系是 .
解：由于，故知的对称轴是.可取特殊函数，即可求得.∴.
例17、已知SA，SB，SC两两所成角均为60°，则平面SAB与平面SAC所成的二面角为 .
解：取SA=SB=SC，则在正四面体S－ABC中，易得平面SAB与平面SAC所成的二面角为.
例18、已知是直线，是平面，给出下列命题：①若，则‖；②若，则‖；③若内不共线的三点到的距离都相等，则‖；④若，且‖，‖，则‖；⑤若为异面直线，，‖，,‖，则‖.
则其中正确的命题是 .（把你认为正确的命题序号都填上）
解：依题意可取特殊模型正方体AC1（如图），在正方体AC1中逐一判断各命题，易得正确的命题是②⑤.
3、数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.数形结合，能使抽象的数学问题转化成直观的图形，使抽象思维和形象思维结合起来．这种思想是近年来高考的热点之一，也是解答数学填空题的一种重要策略．
例19、如果不等式的解集为A，且，那么实数a的取值范围是 。
解：根据不等式解集的几何意义，作函数和
函数的图象（如图），从图上容易得出实数a的取
值范围是。
例20、 求值 。
解：，构造如图所示的直角三角形，则其中的角即为，从而所以可得结果为。
例21、 已知实数x、y满足，则的最大值是 。
解：可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为。
例22、不等式>x＋1的解集是 。
解：如图，在同一坐标系中画出函数y＝与y＝x＋1的图像，由图中可以直观地得到：－≤x<2，所以所求解集是[－,2)。
例23、已知向量=，向量=，则|2－|的最大值是
解：因，故向量2和所对应的点A、B都在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而|2－|的几何意义即表示弦AB的长，故|2－|的最大值为4.
例24、设函数 f(x)＝x3＋ax2＋2bx＋c．若当 x∈（0，1）时，f(x)取得极大值；x∈（1，2）时，f(x)取得极小值，则 的取值范围 ．
解：f′(x)＝ x2＋ax＋2b，令f′(x)＝0，由条件知，上述方程应满足：一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，
∴ ，得 ，在aob坐标系中，作出上述区域如图所示，而 的几何意义是过两点P(a，b)与A(1，2)的直线斜率，而P(a，b)在区域内，由图易知kPA∈（，1）．
4、等价转化法：通过"化复杂为简单、化陌生为熟悉"将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.
例25、 求值 。
解：，
构造如图所示的直角三角形，则其中的角即为，从而
所以可得结果为。
例26、 已知实数x、y满足，则的最大值是 。
解：可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为。。
例27、 不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是 。
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆，∴。
例28、函数单调递减区间为 。
解：易知∵y与y2有相同的单调区间，而，∴可得结果为。
总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。
例29、不等式的解集为，则_______，________.
解：设，则原不等式可转化为：∴a > 0，且2与是方程的两根，由此可得：.
例30、不论为何实数，直线与圆恒有交点，则实数的取值范围是 .
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆，∴.
5、构造法：根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法.
例31、如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥ABCD，
PD=AD，则PA与BD所成角的度数为 .
解：根据题意可将此图补形成一正方体，在正方体中易求得PA与BD所成角为60°.
例32、4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒中，则只有1个空盒的放法共有 种（用数字作答）.
解：符合条件的放法是：有一个盒中放2个球，有2个盒中各放1个球.因此可先将球分成3堆（一堆2个，其余2堆各1个，即构造了球的"堆"），然后从4个盒中选出3个盒放3堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有（种）.
例33、椭圆 的焦点F1、F2，点P是椭圆上动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是
解：构造圆x2＋y2＝5，与椭圆 联立求得交点x02 ＝ x0∈（－ ，）
6、分析法：根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论.
例34、如右图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有（填上你认为正确的一个条件
即可，不必考虑所有可能性的情形）.
解：因四棱柱为直四棱柱，故为在面上的射影，从而要使，只要与垂直，故底面四边形只要满足条件即可.
例35、以双曲线的左焦点F，左准线l为相应的焦点和准线的椭圆截直线所得的弦恰好被x轴平分，则k的取值范围是 .
解：左焦点F为（－2，0），左准线l：x ＝－，因椭圆截直线所得的弦恰好被x轴平分，故根据椭圆的对称性知，椭圆的中心即为直线与x轴的交点，由 ，得0 ＜ k ＜ .
（二）减少填空题失分的检验方法
1、回顾检验
例36、满足条件的角的集合为 .
错解：
检验：根据题意，答案中的不满足条件，应改为；其次，角的取值要用集合表示.故正确答案为
2、赋值检验.若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误.
例37、已知数列的前n项和为，则通项公式= .
错解：
检验：取n=1时，由条件得，但由结论得a1=5.故正确答案为
3、逆代检验.若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致错.
例38、方程的解是 .
错解：设，则，根据复数相等的定义得解得.故
检验：若，则原方程成立；若，则原方程不成立.故原方程有且只有一解z=-i.
4、估算检验.当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误.
例39、不等式的解是 .
错解：两边平行得，即，解得.
检验：先求定义域得，原不等式成立；若，原不等式不成立，故正确答案为x>1.
5、作图检验.当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观臆断致错.
例40、函数的递增区间是 .
错解：
检验：由作图可知正确答案为
6、变法检验.一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成的策略性错误.
例41、若，则的最小值是 .
错解：
检验：上述错解在于两次使用重要不等式，等号不可能同时取到.
换一种解法为：
7、极端检验.当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误.
例42、已知关于x的不等式的解集是空集，求实数a的取值范围 .
错解：由，解得
检验：若a=-2，则原不等式为，解集是空集，满足题意；若，则原不等式为，即，解得，不满足题意.故正确答案为
切记：解填空题应方法恰当，争取一步到位，答题形式标准，避免丢三落四，"一知半解".
（三）数学填空题经典例题剖析、点评
例43、不等式的解集是______。
解：不等式等价于，也就是，所以，从而应填． 答案：
点评：快速解答此题需要记住小结论：应用小结论：
例44、 已知，且，则________.
解：由可以读出．而有条件，所以知道，.答案：
点评：记住一些常用的结论，有时可以快速解答问题，如："当... 时"，看看上面的”读出”，"取舍"，"用公式"，想想解题思维的流程，会有什么启发？
例45、 已知0解：该题几乎在各种数学复习参考书中都出现，是一个很典型的问题，但很多书本都是采用不等式的方法，如作差、作商、不等式的性质等。其实作为填空题，它的最好解法是数形结合，作出函数的简图，再根据图形的特征，容易发现a点评：本题也可以采取另一种作法，首先看一个不等式的性质：和是两个异号的实数，当且仅当与同号时。，不论的值如何，与同号，所以答案：
用数形结合法解填空题，直观，容易懂，不必写出严格的步骤。这两种作法的最大的优点是不用对底数是否比1大讨论。
例46、底面边长为2的正三棱锥中，E、F、G、H分别是PA、AC、BC、PB中点，则四边形EFGH的面积取值范围是_________。
解：用特例法，当P点无限远离平面ABC时显然所求四边形的面积为无穷；而当P点无限接近平面ABC时（如图所示），容易求得面积为。答案：
点评：当有些动点决定问题的结果时，可以让这些动点的位置特殊化。
例47、实数、满足则的最小值为__________
解：由于这是个轮换对称式，可以大胆地猜想当时最小。答案：12
点评：这个题目如果要用严谨方法求解，会显得非常麻烦，解题思路和运算量都是无法预料的。
例48、 已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 。
解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴。答案：
点评：熟悉型函数的一些性质和结论对解决一些填空题或选择题很有帮助。
例49、不等式的解集为（4，b），则a= ，b= 。
解：设，则原不等式可转化为：∴a > 0，且2与是方程的两根，由此可得：。答案：
点评："不等式解集中的区间端点值是不等式改为方程后的根或增根"，在已知不等式的根求其中参数时，经常用这个性质。
例50、 不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是 。
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆的圆心的距离不超过半径，∴。答案：
点评：注意数与形的结合，提高解题的效率。
---填空题攻略200904
★方法总结与2009年高考预测
（一）方法总结
1. 能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。
2．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。
3. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.
（二）2009年高考预测
1. 继续出现创新能力题；
2．应用问题更用可能前移，在填空题中加大考查应用能力
★考点回顾
填空题就是不要求写出计算或推理过程，只需将结论直接写出的"求解题"，它的主要作用是考查考生的基础知识，基本技巧以及分析问题、解决问题的能力，高考试卷中25分．它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。
★数学填空题的特点
填空题缺少选择支的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上。但填空题既不用说明理由，又无须书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题。
填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型。填空题不需过程，不设中间分，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误。
填空题题小,跨度大,覆盖面广,形式灵活,可以有目的、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力.要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一此解题策略，尽量避开常规解法。
★数学填空题的类型
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：
一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等.由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现.
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等.近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.
★解数学填空题的原则
解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是"正确、合理、迅速".为此在解填空题时要做到：快--运算要快，力戒小题大作；稳--变形要稳，不可操之过急；全--答案要全，力避残缺不齐；活--解题要活，不要生搬硬套；细--审题要细，不能粗心大意.
填空题快速解答
---你准备好了吗？Let's go!
（一）数学填空题的解题方法
1、直接法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法.它是解填空题的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.
例1、设其中i，j为互相垂直的单位向量，又，则实数m = 。
解：∵，∴∴，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得∴。
例2、已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 。
解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴。
例3、现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。
解：由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为。
例4、在三棱柱ABC-A'B'C'中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB'C'F将三棱柱分成体积为V、V的两部分，那么V:V＝ 。
解：由题意分析，结论与三棱柱的具体形状无关，因此，可取一个特殊的直三棱柱，其底面积为4，高为1，则体积V＝4，而V＝（1＋＋4）=，V＝V－V＝，则V:V＝7:5。
例5、已知(1－2x)＝a＋ax＋ax＋...＋ax，那么a＋a＋...＋a＝ 。
解：令x＝1，则有（－1）＝a＋a＋a＋...＋a＝－1；令x＝0,则有a＝1。所以a＋a＋...＋a＝－1－1=－2。
例6、方程log(x＋1)＋log(x＋1)＝5的解是 。
解：由换底公式得4log(x＋1)＋log(x＋1)＝5，即log(x＋1)＝1,解得x＝3。
例7、已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0,π)，则ctgθ的值是 。
解：已知等式两边平方得sinθcosθ＝－，解方程组得sinθ＝，cosθ＝，故答案为：－。
【另解】设tg＝t，再利用万能公式求解。
例8、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）.
解：三名主力排有种，其余7名选2名安排在第二、四位置上有种排法，故共有排法数=252种.
例9、的展开式中的系数为 .
解：得展开式中的系数为=179.
例10、已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 .
解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，
∴，∴.
2、特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.
例11、已知（1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋...＋a7x7，那么a1＋a2＋...＋a7＝_____．
解：将已知与求解对照：
a0＋a1x＋a2x2＋...＋a7x7=（1－2x）7，
a1＋a2＋...＋a7＝？
可见取x＝0时，得a0＝1；再取x＝1以求值．有
a1＋a2＋...＋a7＝（1－2）7－a0＝－2．
说明：通过对未知变量x赋以特殊值0和1，十分简洁地求出了问题的答案，收到了事半功倍的效果．
例12、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则 。
解：特殊化：令，则△ABC为直角三角形，，从而所求值为。
例13、 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则 。
解：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。
设k = 0，因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线方程得，∴，从而。
例14、 求值 。
分析：题目中"求值"二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令，得结果为。已知(1－2x)＝a＋ax＋ax＋...＋ax，那么a＋a＋...＋a＝ 。
解：令x＝1，则有（－1）＝a＋a＋a＋...＋a＝－1；令x＝0,则有a＝1。所以a＋a＋...＋a＝－1－1=－2。
例15、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则
解法一：取特殊值a＝3, b＝4, c＝5 ,则cosA＝cosC＝0, .
解法二：取特殊角A＝B＝C＝600 cosA＝cosC＝,.
例16、如果函数对任意实数都有，那么的大小关系是 .
解：由于，故知的对称轴是.可取特殊函数，即可求得.∴.
例17、已知SA，SB，SC两两所成角均为60°，则平面SAB与平面SAC所成的二面角为 .
解：取SA=SB=SC，则在正四面体S－ABC中，易得平面SAB与平面SAC所成的二面角为.
例18、已知是直线，是平面，给出下列命题：①若，则‖；②若，则‖；③若内不共线的三点到的距离都相等，则‖；④若，且‖，‖，则‖；⑤若为异面直线，，‖，,‖，则‖.
则其中正确的命题是 .（把你认为正确的命题序号都填上）
解：依题意可取特殊模型正方体AC1（如图），在正方体AC1中逐一判断各命题，易得正确的命题是②⑤.
3、数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.数形结合，能使抽象的数学问题转化成直观的图形，使抽象思维和形象思维结合起来．这种思想是近年来高考的热点之一，也是解答数学填空题的一种重要策略．
例19、如果不等式的解集为A，且，那么实数a的取值范围是 。
解：根据不等式解集的几何意义，作函数和
函数的图象（如图），从图上容易得出实数a的取
值范围是。
例20、 求值 。
解：，构造如图所示的直角三角形，则其中的角即为，从而所以可得结果为。
例21、 已知实数x、y满足，则的最大值是 。
解：可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为。
例22、不等式>x＋1的解集是 。
解：如图，在同一坐标系中画出函数y＝与y＝x＋1的图像，由图中可以直观地得到：－≤x<2，所以所求解集是[－,2)。
例23、已知向量=，向量=，则|2－|的最大值是
解：因，故向量2和所对应的点A、B都在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而|2－|的几何意义即表示弦AB的长，故|2－|的最大值为4.
例24、设函数 f(x)＝x3＋ax2＋2bx＋c．若当 x∈（0，1）时，f(x)取得极大值；x∈（1，2）时，f(x)取得极小值，则 的取值范围 ．
解：f′(x)＝ x2＋ax＋2b，令f′(x)＝0，由条件知，上述方程应满足：一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，
∴ ，得 ，在aob坐标系中，作出上述区域如图所示，而 的几何意义是过两点P(a，b)与A(1，2)的直线斜率，而P(a，b)在区域内，由图易知kPA∈（，1）．
4、等价转化法：通过"化复杂为简单、化陌生为熟悉"将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.
例25、 求值 。
解：，
构造如图所示的直角三角形，则其中的角即为，从而
所以可得结果为。
例26、 已知实数x、y满足，则的最大值是 。
解：可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为。。
例27、 不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是 。
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆，∴。
例28、函数单调递减区间为 。
解：易知∵y与y2有相同的单调区间，而，∴可得结果为。
总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。
例29、不等式的解集为，则_______，________.
解：设，则原不等式可转化为：∴a > 0，且2与是方程的两根，由此可得：.
例30、不论为何实数，直线与圆恒有交点，则实数的取值范围是 .
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆，∴.
5、构造法：根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法.
例31、如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥ABCD，
PD=AD，则PA与BD所成角的度数为 .
解：根据题意可将此图补形成一正方体，在正方体中易求得PA与BD所成角为60°.
例32、4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒中，则只有1个空盒的放法共有 种（用数字作答）.
解：符合条件的放法是：有一个盒中放2个球，有2个盒中各放1个球.因此可先将球分成3堆（一堆2个，其余2堆各1个，即构造了球的"堆"），然后从4个盒中选出3个盒放3堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有（种）.
例33、椭圆 的焦点F1、F2，点P是椭圆上动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是
解：构造圆x2＋y2＝5，与椭圆 联立求得交点x02 ＝ x0∈（－ ，）
6、分析法：根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论.
例34、如右图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有（填上你认为正确的一个条件
即可，不必考虑所有可能性的情形）.
解：因四棱柱为直四棱柱，故为在面上的射影，从而要使，只要与垂直，故底面四边形只要满足条件即可.
例35、以双曲线的左焦点F，左准线l为相应的焦点和准线的椭圆截直线所得的弦恰好被x轴平分，则k的取值范围是 .
解：左焦点F为（－2，0），左准线l：x ＝－，因椭圆截直线所得的弦恰好被x轴平分，故根据椭圆的对称性知，椭圆的中心即为直线与x轴的交点，由 ，得0 ＜ k ＜ .
（二）减少填空题失分的检验方法
1、回顾检验
例36、满足条件的角的集合为 .
错解：
检验：根据题意，答案中的不满足条件，应改为；其次，角的取值要用集合表示.故正确答案为
2、赋值检验.若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误.
例37、已知数列的前n项和为，则通项公式= .
错解：
检验：取n=1时，由条件得，但由结论得a1=5.故正确答案为
3、逆代检验.若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致错.
例38、方程的解是 .
错解：设，则，根据复数相等的定义得解得.故
检验：若，则原方程成立；若，则原方程不成立.故原方程有且只有一解z=-i.
4、估算检验.当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误.
例39、不等式的解是 .
错解：两边平行得，即，解得.
检验：先求定义域得，原不等式成立；若，原不等式不成立，故正确答案为x>1.
5、作图检验.当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观臆断致错.
例40、函数的递增区间是 .
错解：
检验：由作图可知正确答案为
6、变法检验.一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成的策略性错误.
例41、若，则的最小值是 .
错解：
检验：上述错解在于两次使用重要不等式，等号不可能同时取到.
换一种解法为：
7、极端检验.当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误.
例42、已知关于x的不等式的解集是空集，求实数a的取值范围 .
错解：由，解得
检验：若a=-2，则原不等式为，解集是空集，满足题意；若，则原不等式为，即，解得，不满足题意.故正确答案为
切记：解填空题应方法恰当，争取一步到位，答题形式标准，避免丢三落四，"一知半解".
（三）数学填空题经典例题剖析、点评
例43、不等式的解集是______。
解：不等式等价于，也就是，所以，从而应填． 答案：
点评：快速解答此题需要记住小结论：应用小结论：
例44、 已知，且，则________.
解：由可以读出．而有条件，所以知道，.答案：
点评：记住一些常用的结论，有时可以快速解答问题，如："当... 时"，看看上面的”读出”，"取舍"，"用公式"，想想解题思维的流程，会有什么启发？
例45、 已知0解：该题几乎在各种数学复习参考书中都出现，是一个很典型的问题，但很多书本都是采用不等式的方法，如作差、作商、不等式的性质等。其实作为填空题，它的最好解法是数形结合，作出函数的简图，再根据图形的特征，容易发现a点评：本题也可以采取另一种作法，首先看一个不等式的性质：和是两个异号的实数，当且仅当与同号时。，不论的值如何，与同号，所以答案：
用数形结合法解填空题，直观，容易懂，不必写出严格的步骤。这两种作法的最大的优点是不用对底数是否比1大讨论。
例46、底面边长为2的正三棱锥中，E、F、G、H分别是PA、AC、BC、PB中点，则四边形EFGH的面积取值范围是_________。
解：用特例法，当P点无限远离平面ABC时显然所求四边形的面积为无穷；而当P点无限接近平面ABC时（如图所示），容易求得面积为。答案：
点评：当有些动点决定问题的结果时，可以让这些动点的位置特殊化。
例47、实数、满足则的最小值为__________
解：由于这是个轮换对称式，可以大胆地猜想当时最小。答案：12
点评：这个题目如果要用严谨方法求解，会显得非常麻烦，解题思路和运算量都是无法预料的。
例48、 已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 。
解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴。答案：
点评：熟悉型函数的一些性质和结论对解决一些填空题或选择题很有帮助。
例49、不等式的解集为（4，b），则a= ，b= 。
解：设，则原不等式可转化为：∴a > 0，且2与是方程的两根，由此可得：。答案：
点评："不等式解集中的区间端点值是不等式改为方程后的根或增根"，在已知不等式的根求其中参数时，经常用这个性质。
例50、 不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是 。
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆的圆心的距离不超过半径，∴。答案：
点评：注意数与形的结合，提高解题的效率。
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