Question

已知p为抛物线y^2=2px上一点过点p作两条直线pap b分别交抛物线c于点ab若直线p

已知定点p（x0,y0）在抛物线y^2=2px（p>0）上,过点p做两直线L1,L2,分别交抛物线于A,B且以AB为直径的圆过点p,证明直线AB过定点

Answer 1

证：设定点M坐标为(m,n),动点A坐标(x1,y1),B坐标(x2,y2)
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离,即：
|AF|=x1+ p/2,|MF|=m+ p/2,|BF|=x2+ p/2
由|AF|、|MF|、|BF|三者成等差数列可知,|AF|+|BF|=2|MF|,即：
x1+ p/2 + x2+ p/2=2(m+ p/2）,化简得m=(x1+x2)/2
A、B两点在抛物线上,∴y1��=2px1,y2��=2px2
两式相减得到：(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)
∴AB斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)
线段AB的垂直平分线满足：垂直于AB且过AB中点[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
AB垂直平分线方程为
y=-[(y1+y2)/2p][x-(x1+x2)/2]+ (y1+y2)/2
=-[(y1+y2)/2p](x-m-p)
此直线必过定点Q(m+p,0

Answer 2

以AB为直径的圆过点P，则PA与PB垂直