Question

若函数f(x）在点x0可导，g(x)在点x0不可导，则f(x)g(x)在点x0可导吗？为什么？

Answer 1

问：若函数f(x）在点x0可导，g(x)在点x0不可导，则f(x)g(x)在点x0可导吗？为什么？

答：可以确定，不可导。反证法。以f(x)=f(x)+g(x)为例。如果可导，由导数定义：lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在。但是，lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)[f(x)+g(x)-f(x0)-g(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)+lim(x->x0)[g(x)-g(x0)]/(x-x0)因为f(x)在x0处可导，而g(x)在x0处不可导，所以上式中，第一个极限存在而第二个极限不存在，因此lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)不存在，这与f(x)在x0处可导矛盾。因此f(x)不可导。