Question

∫exp(－a²x²)dx＝

Answer 1

问：∫exp(－a²x²)dx＝

答：您好，您的问题我已经看到了，正在整理答案，请稍等一会儿哦~

答：要计算∫e^(-x^2)dx 可以通过计算二重积分:∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy.那个D表示是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.下面计算这个二重积分:解:在极坐标系中,闭区域D可表示为:0≤r≤a,0≤θ≤2π∴∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=∫∫e^(-r^2)*rdrdθ=∫[∫e^(-r^2)*rdr]dθ=-(1/2)e^(-a^2)∫dθ=π(1-e^(-a^2))下面计算∫e^(-x^2)dx ;设D1={(x,y)|x^2+y^2≤R^2,x≥0,y≥0}.D2={(x,y)|x^2+y^2≤2R^2,x≥0,y≥0}.S={(x.y)|0≤x≤R,0≤y≤R}.可以画出D1,D2,S的图.显然D1包含于S包含于D2.由于e^(-x^2-y^2)>0,从而在这些闭区域上的二重积分之间有不等式:∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy

问：∫x*2e*(－a²x²)dx＝

答：∫x^2e(x^2)dx=(1/2)∫xe^(x^2)dx^2=(1/2)∫xd(e^x^2)=(1/2)xe^(x^2)-(1/2)∫e^x^2d(x^2)^(1/2)=(1/2)xe^(x^2)-(1/4)∫e^x^2dx^2/(x^2)^(1/2)∫e^x^2dx^2/(x^2)^(1/2)取t=(x^2)=∫e^tdt/t^(1/2)e^t=1+t+t^2/2!+t^3/3!+..+t^n/n!=∫[1/t^(1/2)+t^(1/2)+t^(3/2)/2!+t^(5/2)/3!+..+t^(n-1/2)/n!]dt=2t^(1/2)+(2/3)t^(3/2)+(2/5)t^(5/2)/2!+(2/7)t^(7/2)/3!+..+(n+1/2)*t^(n+1/2)/n!+C∫x^2e^(x^2)dx=(1/2)xe^(x^2)-(1/4)[2*x+(2/3)x^3+(2/5)x^5/2!+(2/7)x^7/3!+..+(n+1/2)x^(2n+1)/n!] +C