Question

求二重积分 详细过程 谢谢 ∬(x+y)sin(x-y)dxdy D=｛(x,y）| 0 ≤x+y

Answer 1

问：求二重积分 详细过程 谢谢 ∬(x+y)sin(x-y)dxdy D=｛(x,y）| 0 ≤x+y

答：∫∫cos(x+y)dxdy∫dx∫cos(x+y)dy,x的上下限是π和0，y的上下限是π和0∫dx∫dsin(x+y)=∫[sin(π+x)-sinx]dx=∫-2sinxdx=2∫dcosx,x的上下限是π和0=2cosπ-2cos0=-4

问：∬(x+y)sin(x-y)dxdy D=｛(x,y）| -x＜y＜π-x，x-π＜y＜x｝

答：你好稍等片刻

答：做变量代换X＝x−12，Y＝y−12，则D={（x，y）|x2+y2≤x+y+1}={（X，Y）|X2+Y2≤32}，所以：I=∬D(x+y)dxdy=∬D(X+Y+1)dXdY=∬DXdXdY+∬DYdXdY+∬DdXdY．因为D在（X，Y）坐标系下是一个圆，且X，Y分别是关于X，Y的奇函数，所以有：∬DXdXdY=0，∬DYdXdY=0，又：易知 ∬DdXdY=SD=32π，所以：I=32π．

问：∬(x+y)sin(x-y)dxdy

问：D=｛(x,y）| -x＜y＜π-x，x-π＜y＜x｝

问：积分号里还有还有sin（x-y）

答：你好马上回复

答：这题的积分区域---圆域的圆心为（1/2,1/2),半径为(√2)/2因为圆心非原点,所以无论用直角坐标还是极坐标,上下限都不好确定.所以应想到把圆域平移到原点处,即用坐标变换.但二重积分的坐标变换涉及到雅克比公式,一般来说比较麻烦,而此题只是平移,不涉及旋转,变形之类得,所以可省去雅克比的过程.令x=(1/2)+u,y=(1/2)+v,则积分圆域变为以（0,0）为圆心,以(√2)/2为半径.而原积分=∫∫(1+u+z)dudv因为,变换后的积分区域关于u轴和v轴都对称,且被积函数1+u+z关于u和v分别为奇函数所以,∫∫ududv=∫∫vdudv=0故∫∫(1+u+z)dudv=∫∫dudv=变换后圆域面积=π/2（但注意,平移的时候能像这样代入,因为雅克比行列式等于1,其他变换还要乘以雅克比行列式