计算曲面积分I=x^3dydz+y^3dxdz+（z-1）dxdy，其中为球面x^2+y^2+z^2=2z介于z=0与z=1之间部分的上侧

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摘要这里就是考你会不会区别面积分和重积分的地方了。

面积分的被积函数是建构在曲面方程上的，x² + y² + z² = a²，只包含方程的部分

积分域：{ x，y，z | Σ：x² + y² + z² = a² }

仅包括 = a²的部分，所以线积分和面积分都可以直接把积分域代入被积函数里。

而重积分的被积函数是建构在整个空间里的，x² + y² + z² ≤ a²，包含方程和方程里包含的空间

积分域：{ x，y，z | Ω：x² + y² + z² ≤ a² }

包括了① = a²的部分和② < a²的部分

如果把积分域代入被积函数，只有①的部分，而忽略了②的部分，这岂不是变成「球面」积分而不是「球体」积分吗？？

例如对于积分域Σ：x² + y² + z² = a²，∫∫Σ (x² + y² + z²) dS = ∫∫Σ (a²) dS

但是∫∫∫Ω (x² + y² + z²) dV ≠ ∫∫∫Ω (a²) dV

这样清楚吧，曲面积分还是猛些的。

所以3∫∫∫Ω (x² + y² + z²) dV的正确做法是球坐标

= 3∫(0，2π) ∫(0，π) ∫(0，a) (r²) * (r²sinφ drdφdθ)

咨询记录 · 回答于2022-06-16

计算曲面积分I=x^3dydz+y^3dxdz+（z-1）dxdy，其中为球面x^2+y^2+z^2=2z介于z=0与z=1之间部分的上侧

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您好？

这里就是考你会不会区别面积分和重积分的地方了。面积分的被积函数是建构在曲面方程上的，x² + y² + z² = a²，只包含方程的部分积分域：{ x，y，z | Σ：x² + y² + z² = a² }仅包括 = a²的部分，所以线积分和面积分都可以直接把积分域代入被积函数里。而重积分的被积函数是建构在整个空间里的，x² + y² + z² ≤ a²，包含方程和方程里包含的空间积分域：{ x，y，z | Ω：x² + y² + z² ≤ a² }包括了① = a²的部分和② < a²的部分如果把积分域代入被积函数，只有①的部分，而忽略了②的部分，这岂不是变成「球面」积分而不是「球体」积分吗？？例如对于积分域Σ：x² + y² + z² = a²，∫∫Σ (x² + y² + z²) dS = ∫∫Σ (a²) dS但是∫∫∫Ω (x² + y² + z²) dV ≠ ∫∫∫Ω (a²) dV这样清楚吧，曲面积分还是猛些的。所以3∫∫∫Ω (x² + y² + z²) dV的正确做法是球坐标= 3∫(0，2π) ∫(0，π) ∫(0，a) (r²) * (r²sinφ drdφdθ)

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